El Weil grupo aparece por varias razones.
En primer lugar: si $K$ es un no-arquímedes campo local con residuo de campo $k$,
el local de la ley de reciprocidad induce una incrustación
$K^{\times} \hookrightarrow G_K^{ab}.$ La imagen se compone de todos los
elementos en $G_k$ cuya imagen es una parte integral de alimentación de Frobenius.
Este es el abelianized Weil grupo; sólo aparece de forma natural.
En segundo lugar: supongamos que $K$ es un campo global de característica positiva,
es decir, el campo de función de una curva sobre un campo finito $k$. A continuación, el
global de la reciprocidad mapa identifica los idele grupo de clase de $K$ con
un subgrupo de $G_K^{ab}$ compuesto de elementos que actúan en $k$
integral de los poderes de Frobenius. Así que, de nuevo, es el abelianized Weil grupo
que aparece.
En tercer lugar: supongamos que $E$ es una curva elíptica sobre un cuadrática imaginario
campo de $K$
con complejo multipliction por $\mathcal O$, el anillo de enteros en $K$. (Por eso yo estoy implícitamente la fijación de $K$ a
tener conocimiento de la clase número uno, pero esto no es tan importante para lo que voy a decir a continuación.)
Si $\ell$ es un número primo, entonces el $\ell$-ádico Tate módulo es libre de rango uno más de
$\mathcal O_{\ell}$ ($\ell$- ádico de la finalización de $\mathcal O$), y el $G_K$-acción
en este Tate módulo induce un carácter $\psi_{\ell}:G_K^{ab} \rightarrow \mathcal O_{\ell}^{\times}$.
Hay un sentido en el que los diversos $\psi_{\ell}$ son indepenent de $\ell$,
pero ¿cuál es ese sentido?
Bueno, supongamos que $\wp$ es una de las principales de $K$, no dividiendo $\ell$, y en el que
$E$ tiene buena reducción. A continuación, el valor de $\psi_{\ell}$ $Frob_{\wp}$ es indepenent
de $\ell$, en el sentido de que su valor es un elemento de $\mathcal O$, y este valor
es independiente de $\ell$.
De manera más general, a condición de que $\wp$ es el primer a $\ell$,
la restricción de $\psi_{\ell}$ a los locales Weil grupo en $\wp$ es independiente de $\ell$
(en el sentido de que el valor en un ascensor de Frobenius será un entero algebraico que
es independiente de $\ell$, y su restricción a la inercia al $\wp$ será una imagen finita
la representación, por lo tanto, definida sobre algebraica de los números enteros, que a su vez es independiente
de $\ell$).
Tenga en cuenta que la independencia de $\ell$ no tiene sentido para $\psi_{\ell}$
en el local completo grupo de Galois en $\wp$, ya que en todo este grupo se
ciertamente, se toman los valores que no son algebraicas, sino sólo algunos de $\ell$-ádico
enteros, que no puede ser comparado con el uno al otro como $\ell$ cambios.
Ahora también hay un sentido en el cual la $\psi_\ell$, como global Galois personajes, son independientes de $\ell$. De hecho, podemos pegar juntas las
varios locales de Weil grupo de representaciones para obtener una representación $\psi$ de la mundial Weil
grupo $W_K$. Ya que es abelian, esto sólo será un idele carácter de clase $\psi$,
o lo que también se llama un Hecke carácter o Grossencharacter. Se tomará los valores
en los números complejos. (En el finito de lugares que incluso lleva algebraica de los valores de número, pero
cuando nos organizamos bien las cosas, en los infinitos lugares, estamos obligados a pensar de ella
como complejo de valoración.)
Tenga en cuenta que $\psi$ no factor a través del componente conectado grupo, es decir, no va a ser
un personaje de $G_K^{ab}$. No es un Galois de carácter, pero una Weil grupo de caracteres.
Se almacena en un objeto de la información contenida en un conjunto de la colección de
$\ell$-ádico Galois caracteres, y le da un sentido preciso a la idea de que estos diversos $\ell$-ádico caracteres son independientes de $\ell$.
Esta es una importante función general de Weil grupos.
En cuarto lugar: La Hecke carácter $\psi$ anterior será algebraica de Hecke carácter, es decir,
en los infinitos lugares, implican elevar a potencias integrales. Pero también podemos
elevar los números reales a un arbitrario de poder compleja $s$, y así hay Hecke caracteres
que no provienen de la anterior construcción (o de otros similares); en otras palabras,
hay no algebraicas, o no motivic, Hecke caracteres. Pero son abelian caracteres
de la global Weil grupo, y que tienen un significado; la variable $s$ a que se nos pueden plantear
los números reales es la misma variable $s$ como aparece en $\zeta$- o $L$-funciones.
En resumen: Porque Weil grupos son "menos terminado", o "menos profinite", de Galois
grupos, juegan un papel importante en la descripción de cómo un sistema de $\ell$-ádico representaciones pueden ser independientes de $\ell$. También, permiten describir
los fenómenos que se automorphic, pero no motivic (es decir, que corresponden a los no-integral
los valores de la $L$-función de la variable $s$). (No describir todos los automorphic fenómenos,
a pesar de que --- se necesita toda la Langlands grupo para que.)
