$G$ es libre de torsión $[G:Z(G)]$ es finito $\implies$ $G$ ¿es abeliano?

Question

Si $G$ es un grupo que no tiene ningún elemento no identitario de orden finito y $Z(G)$ , el centro del grupo , tiene índice finito , entonces es cierto que $G$ ¿es abeliano?

Answer 1

Por el teorema de Schur (bueno, una de las cosas que se llaman así, al menos), $G'$ es finito si $Z(G)$ tiene un índice finito. Dado que $G$ no contiene ninguna torsión, $G'$ debe desaparecer; es decir, $G$ es abeliana.