Matriz diagonalizable $A$ ¿también es invertible?

Question

Si una matriz $A$ es diagonalizable, es $A$ ¿Invertible?

Sé que $P^{-1}AP = \text{some diagonal matrix}$ y por lo tanto $P$ es invertible, pero no estoy seguro de $A$ sí mismo.

Answer 1

Si esa matriz diagonal tiene algún cero en la diagonal, entonces $A$ no es invertible. En caso contrario, $A$ es invertible. El determinante de la matriz diagonal es simplemente el producto de los elementos diagonales, pero también es igual al determinante de $A$ .

Answer 2

No. Por ejemplo, la matriz cero es diagonalizable, pero no es invertible.

Answer 3

Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su núcleo es $0$ y un elemento del núcleo es lo mismo que un vector propio con valor propio $0$ ya que se asigna a $0$ veces a sí mismo, que es $0$ .

Cuando diagonalizamos una matriz, elegimos una base para que los valores propios de la matriz estén en la diagonal, y todas las demás entradas sean $0$ . Así que si $P^{-1}AP$ es diagonal, entonces $P^{-1}AP$ es invertible si y sólo si ninguna de sus entradas diagonales (valores propios) es $0$ .

$P^{-1}AP$ es invertible si y sólo si $A$ es invertible porque son la misma transformación, escrita con bases diferentes. Alternativamente, observe que $(P^{-1}AP)^{-1}=P^{-1}A^{-1}P$ .