En los primos entre $k$ y $k!$

Question

Tengo la siguiente pregunta de deberes:

"Mostrar que para $k\geq 4$ entre $k$ y $k!$ siempre existe un número primo de la forma $4n+3$ ."

¿Cómo se puede probar?

Answer 1

Una pista: Mira los divisores primos de $k!-1$ y observe que $k!-1\equiv -1(\bmod. 4)$ para $k\geq 4$ .

Answer 2

Pista: Mira $k!-1$ :

• Es $k!-1$ ¿incluso? ¿Tiene algún divisor par?

• ¿Qué es? $k!-1 \mod 4$ ? ¿Puede ser un producto únicamente de números primos de la forma $4n+1$ ?

• ¿Hay algún primo de $2$ hasta $k$ dividir $k!-1$ ?