Propiedades de $\liminf$ y $\limsup$ de suma de secuencias

Question

Que $\{s_n\}$ y $\{t_n\}$ ser secuencias.

Me he dado cuenta esta desigualdad en los libros de texto algunos análisis que he encontrado, así que he empezado a pensar en que esto no puede ser un error tipográfico:

$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty}$ $s_n$ + $\liminf\limits_{n \rightarrow \infty}$ $t_n$ $\leq$ $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty}$ $(s_n + t_n)$ $\leq$ $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty}$ $s_n$ + $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty}$ $t_n$.

Entiendo el derecho dos terceras partes de la ecuación y puede probarlo. En tercer lugar Estoy atascado en la extrema izquierda. No entiendo cómo eso es cierto.

Answer 1

En primer lugar, las condiciones de límite superior que todos cancelación así que en realidad lo que ha escrito es equivalente a

$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty}$ $t_n$ $\leq$ $t_n$ $\leq \limsup\limits_{n \rightarrow \infty}$ $t_n$

Considerar el $t_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty}$ $t_n$ $=$ $\liminf\limits_{n \rightarrow \infty}$ $t_n$ $= 0$

Sin embargo cada $n\in \mathbb{N}$, su teorema implicaría $0\leq t_n \leq 0$ que significa $t_n = 0$. $t_n \neq 0 \forall n\in\mathbb{N}$ así que esto sería incluso no ser cierto si usted agrega una condición como '$\exists N\in \mathbb{N}$ tal que esto es cierto para todas las $n>N$'.