Lo que está "mal" con $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2x)^n}{1+n}$ $x = 0$

Question

Estuve trabajando con esta serie de energía:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2x)^n}{1+n}$$

Que converge para $|x| < \frac{1}{2}$ según el teorema de Cauchy-Hadamard. No hay problema hasta ahora.

Entonces encontré su suma, es decir:

$$ \frac{\log(1+2x)}{2x} $$

Y aquí me confundo, ya que anteriormente he encontrado que la serie converge para x = 0, pero no puedo evaluar su suma en x = 0. ¿Qué me falta aquí?

Cualquier ayuda o comentario se agradece y gracias por su tiempo.

Answer 1

La suma puede evaluarse en $0$ regla de L'Hospital: $$ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)} {x 2} = \lim_ {x\to0} \frac {1} {1 + x 2} = 1 $$

Answer 2

$|x|<\frac{1}{2}$, La suma

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2x)^n}{1+n}$$

converge a

$$ g (x) =\begin{cases} \frac{\log(1+2x)}{2x},&0<|x|<\frac12; \\ 1,&x=0. \end{casos} $$