¿Por qué todo el álgebra exterior?

Question

He estado leyendo un poco sobre el álgebra multilineal. En particular, he estado leyendo sobre la construcción del álgebra exterior de un espacio vectorial de dimensión finita $X$ , digamos que sobre $\mathbb{R}$ . $$ \Lambda(X) = \bigoplus_{n \geq 0} \Lambda^k(X) $$

Todavía estoy en esa frustrante fase inicial en la que las definiciones parecen muy desmotivadas. Espero algunas sugerencias para mejorar mi dominio de ellas.

Permítanme describir una cosa en particular que me molesta con la esperanza de que mis preocupaciones se disipen fácilmente. No entiendo el sentido de tener un producto $\Lambda(X) \times \Lambda(X) \to \Lambda(X)$ en lugar de prestar atención a los productos $\Lambda^k \times \Lambda^\ell(X) \to \Lambda^{k+\ell}(X)$ que parecen ser lo único importante.

Mi problema puede ser que el único caso con el que tengo experiencia es el caso $X=X^*$ (un espacio dual) en cuyo caso los elementos de $\Lambda^k(X^*)$ puede identificarse con la alternancia de $k$ -funcionales lineales $X^k \to \mathbb{R}$ . Me parece extraño querer juntar las formas de diferentes rangos en la misma álgebra. Para qué sirve una expresión de rango mixto como $$\omega = dx + dy \wedge dz$$ que es, supongo, un elemento de $\Lambda((\mathbb{R}^3)^*)$ ?

Creo que lo que más me irrita es que estas expresiones mixtas ni siquiera se alternan necesariamente. Quiero decir, por el amor de Dios, ¡mira! \begin{align*} \omega \wedge \omega & = (dx + dy \wedge dz) \wedge (dx + dy \wedge dz) \\ &= dx \wedge dy \wedge dz + dy \wedge dz \wedge dx \\ &= dx \wedge dy \wedge dz + (-1)^2 dx\wedge dy \wedge dz \\ &= 2 dx \wedge dy \wedge dz \\ &\neq 0 \end{align*} ¿Qué sentido tiene considerar todos estos elementos extraños cuyo cuadrado de la cuña ni siquiera es cero?

Ahora bien, una respuesta a mi pregunta podría ser "bueno, ¿no es útil considerar polinomios que no son de grado homogéneo?". Sin embargo, no creo que esto sea suficiente para mí. Hasta que no vea por qué es realmente útil poner el " $\Lambda^k(X)$ "en un álgebra, voy a desconfiar del objeto $\Lambda(X)$ .

Añadido: Me he dado cuenta de que hay información relevante en este hilo .

Answer 1

Quizás prefieras pensar en el álgebra exterior como un álgebra graduada . Un álgebra graduada es un monoide en la categoría monoidal de espacios vectoriales graduados , al igual que un álgebra es un monoide en la categoría monoidal de los espacios vectoriales.

Wikipedia define estos objetos como álgebras (respectivamente, espacios vectoriales) con estructura extra, pero no es necesario. Se obtienen categorías equivalentes con las siguientes definiciones. Un espacio vectorial graduado es una secuencia $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de espacios vectoriales -- la suma de elementos en diferentes grados no se considera bien definida. Un morfismo de espacios vectoriales graduados es una secuencia $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de mapas lineales, y el tensor viene dado por $(V_n)_{n\in \mathbb{N}} \otimes (W_m)_{m \in \mathbb{N}} = (\oplus_{n+m=p} V_n \otimes W_m)_{p \in \mathbb{N}}$ . Un monoide en esta categoría monoidal resulta ser exactamente lo que describe: una secuencia de espacios vectoriales $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ con mapas de multiplicación $V_n \otimes V_m \to V_{n+m}$ satisfaciendo las leyes de unidad y asociatividad.

(En realidad, hay dos formas importantes de convertir esto en una categoría monoidal simétrica: una simetría es $\sigma (v_n \otimes w_m) = w_m \otimes v_n$ mientras que el otro es $\sigma(v_n \otimes w_m) = (-1)^{nm} w_m \otimes v_n$ . Bajo la segunda simetría, el álgebra exterior es en realidad un monoide conmutativo)

En cualquier caso, la cuestión es que el álgebra exterior es un álgebra graduada, y la categoría de álgebras graduadas puede definirse de diferentes maneras. En algunas de estas formas, pensamos que la suma de elementos en diferentes grados está bien definida, mientras que en otras no. Es una cuestión de gustos.

EDITAR No me resisto a señalar que "tomar las sumas de elementos de diferentes grados para que estén bien definidas" equivale a definir un functor $\mathsf{GrVect} \to \mathsf{Vect}$ de espacios vectoriales graduados a espacios vectoriales, enviando $(V_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto \oplus_n V_n$ . Pero este no es el único functor útil de este tipo -- otro sería $(V_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto \Pi_n V_n$ que difiere cuando hay infinitos grados no nulos. Hay que reconocer que este functor no juega tan bien con la estructura monoidal.

EDITAR 2 La descripción que hice de $\mathsf{GrVect}$ lo considera esencialmente como la categoría del functor $[\mathbb{N}, \mathsf{Vect}]$ (donde $\mathbb{N}$ se considera una categoría discreta). El producto monoidal viene dado por Convolución del día (donde $\mathbb{N}$ se considera que es monoidal bajo adición), una forma general de producir estructuras monoidales en categorías de funtores agradables.

Answer 2

¡Buena pregunta! Bueno, digamos que sólo tienes el $\Lambda^k(T(M))$ de forma aislada ( $M$ es un colector, $T(M)$ es su espacio tangente). ¿Qué son? Módulos sobre el $C^n(M)$ ¿funciones anillo? Bonito, pero ¿cómo podemos multiplicar una forma con otra forma? No podemos, tenemos módulos, no anillos ni álgebras. Sin embargo, nos gustaría multiplicar una forma 1 con otra forma 1 para construir una 2 forma, por ejemplo. Bien, entonces inventamos el producto exterior $\wedge^{k,s}$ . Se llama exterior porque toma una forma k y una forma s y te devuelve una forma (k+s). Se trata de fuera de los módulos originales. De hecho, tenemos una colección de estos productos exteriores, uno para cada par de $k,s$ . Así que tenemos una colección de módulos $\Lambda^k(T(M))$ y una colección de productos de exterior $\wedge^{k,s}$ . Menudo lío. Cuando se enfrentan a situaciones similares los matemáticos se limitan a generalizar las cosas, para hacerlas más sencillas. Al fin y al cabo, hicieron exactamente lo mismo con los polinomios. Piénsalo: no hay interno multiplicación entre polinomios de orden $k$ .

Así que vamos a crear una estructura matemática, $\Lambda(T(M))$ que contiene todos los $\Lambda^k(T(M))$ . $\Lambda(T(M))$ es el _suma directa_ de todos los $\Lambda^k(T(M))$ Ahora hay un interno multiplicación que se denomina producto de cuña $\wedge$ , que subsume todos los $\wedge^{k,s}$ . También hay un interno suma y multiplicación escalar que subsume todas las diferentes sumas y multiplicaciones escalares en el $\Lambda^k(T(M))$ . En realidad, la multiplicación escalar es lo mismo que el producto cuña con $\Lambda^0(T(M))$ . ¡Así que lo que tenemos es un álgebra! Genial, pasamos de una colección de estructuras y operaciones externas a una única estructura matemática. Mucho más limpio. También se puede crear un único operador interno derivado que subsuma todos los diferentes exterior operadores derivados que actúan sobre el individuo $\Lambda^k(T(M))$ .

Pero la construcción más importante utilizando toda la potencia de su nueva álgebra graduada $\Lambda(T(M))$ es el Ideal . Esta construcción requiere la libertad de sumar y multiplicar formas con diferentes grados. No se puede hacer con módulos, se necesita un anillo como mínimo.

Te sugiero que leas "Applied exterior calculus" de Edelen para que veas las cosas que puedes hacer con $\Lambda(T(M))$

Ahora, ¿todavía te resulta incómodo suma una forma 1 con una forma 2 como en su $\omega$ ?

Se reduce a la psicología.

Piénsalo así: cuando eras niño te enseñaron una manzana junto a otra y te dijeron que la describieras como 2 manzanas. En matemáticas escribiste $1+1=2$ . Usted preguntó: ¿puedo hacer esto también con plátanos? Claro, se puede hacer esto con cualquier cosa y el resultado es siempre $2$ Pero .... si tienes una manzana y un plátano ya no puedes sumarlos. Sólo puedes sumar manzanas con manzanas y plátanos con plátanos.

Mala, mala, mala profesora.

Si avanzamos hasta hoy, no se sabe qué hacer con una forma de 1 junto a una forma de 2.

Pero supón que tienes un profesor mejor. Te muestra 3 manzanas y media y 2 plátanos uno al lado del otro en una mesa y le pides al niño inteligente de tu alma que describa esto (el niño inteligente está ahí, sólo tienes que buscarlo).

El chico listo dice: oh, como me dijiste ayer, es un vector en un espacio vectorial 2D sobre los racionales. Yo lo describiría como $3.5 a + 2 b$ donde $a$ y $b$ son vectores base "manzana" y "plátano".

Entonces el profesor pregunta: ¿y si te doy otra media manzana y te quito un plátano?

El niño responde: ahora tengo $4a+b$ es un espacio vectorial con bases a y b, por lo que se siguen sumando manzanas con manzanas y plátanos con plátanos, pero si se tienen manzanas y plátanos simplemente imagina que tienes un espacio vectorial con más dimensiones en lugar del habitual espacio 1D de manzanas o plátanos (que equivale a un escalar, es decir, un simple número).

El mal profesor pensaba que "manzanas" y "plátanos" eran números. En realidad son vectores en espacios vectoriales 1D. Cuando los sumas, estás haciendo una " suma directa "de los espacios vectoriales.

Avancemos hasta hoy. Tienes un 1 forma junto a un 2 forma ¿qué haces? Sólo tienes que añadir un poco de leche y mezclar un gran batido matemático :-)

Answer 3

Centrándonos en la utilidad de estos objetos de grado mixto, ampliemos ligeramente el álgebra de Clifford por un momento. El producto clifford de dos vectores produce un objeto de grado mixto llamado rotor . Por ejemplo, utilizando $\mathbb R^3$ como base para un álgebra clifford, con vectores base $e_1, e_2, e_3$ entonces el producto clifford de dos vectores $a, b$ produce alguna combinación lineal

$$ab = \alpha 1 + \beta e_2 e_3 + \gamma e_3 e_1 + \delta e_1 e_2$$

para los escalares $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ . Resulta que cada uno de estos bivectores $e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1$ cuadrados a $-1$ bajo el producto clifford, y es habitual denotar estas cantidades por $k = -e_1 e_2$ , $i = -e_2 e_3$ y $j = -e_3 e_1$ para que tengamos

$$ab = \alpha - \beta i - \gamma j - \delta k$$

En otras palabras, voilá acabamos de derivar cuaterniones. Los cuaterniones corresponden a combinaciones lineales de elementos de grado par en el álgebra de Clifford construida sobre $\mathbb R^3$ . Los multivectores de grado mixto como estos resultan muy útiles para describir reflexiones y rotaciones, incluso en espacios de mayor dimensión.

Answer 4

Creo que el mayor mérito del álgebra exterior es la posibilidad de definir una derivada exterior $d(\omega)$ de un $n$ -formar y demostrar que:

$d(d(\omega))=0$

y luego demostrar que si $M$ es una compacta lisa orientable $(n+1)$ -con límite, entonces tenemos el teorema de Stoke generalizado:

$$ \int_M d(\omega)=\int_{\partial M} \omega $$

Es la más bella generalización del teorema fundamental del cálculo.