Poniendo bolas de $m$ en $n$ limitada-cajas.

Question

Hoy estaba pensando en este problema:

Tengo cajas de $n\geq2$ y $m\geq1$ bolas. Sé que el cuadro de $i-$ th puede contener a más $l_i\geq1$ bolas y además sé que $l_1+\dots+l_n=2m.$

Quiero calcular la combinación diferentes que puedo rellenar las casillas.

¿Es posible? ¿Podemos encontrar al menos un límite inferior de rasonable? (por ejemplo cuando $m$ es grande).

Answer 1

Esto es sólo una aproximación, no una solución completa... Necesita el número de soluciones al %#% $ de #% esto es lo mismo que el coeficiente de $$ \sum_{i=1}^n x_i= m\quad \textrm{ with } x_i \in [0,\ell_i] \cap \mathbb{Z}\quad \forall i\in [n]$, en la expansión de\begin{align} \prod_{i=1}^n \left(1+ t + t^2 + \ldots +t^{\ell_i}\right) &=\prod_{i=1}^n \frac{1-t^{1+\ell_i}}{1-t}\\ &=\left[ \sum_{k=0}^\infty \binom{n+k-1}{k} t^k\right] \prod_{i=1}^n (1-t^{1+\ell_i})\\ &=1 + nt+ \left(\cdots\right)t^2 + \cdots +\left[\binom{n+m-1}{m} + \ldots \right]t^m + \cdots \end {Alinee el} si puede calcular el resto de los términos en la Plaza de arriba, se hacen.