Pregunta sobre el triángulo de geometría

Question

En la figura siguiente, AB=BC=CD. Si el área del triángulo CDE es 42, ¿cuál es el área del triángulo ADG?

Creo que los triángulos son similares. ¿Existe alguna propiedad de los triángulos semejantes en cuanto a su área? Ayúdame a obtener la respuesta con una explicación por favor

ans :378

Answer 1

Como $CE||BF||AG,$

Así que, $\frac{DC}{DE}=\frac{DB}{DF}=\frac{DA}{DG}$

Pero $DA=DC+CB+BA=3DC\implies DG=3DE$ y $AG=3CE$

Ahora $\triangle CDE=\frac{1}{2}\cdot EC \cdot DE=42$ (dado),

$\triangle ADG =\frac{1}{2}\cdot AG\cdot DG=\frac{1}{2}\cdot3CE\cdot 3DE=9\cdot \frac{1}{2}\cdot CE \cdot DE=9\cdot 42=378$

Answer 2

Las líneas $CE$ , $BF$ , $AG$ son paralelas porque tienen una línea perpendicular común. Por el teorema de intercepción, los triángulos son indefectiblemente similares y el factor de escala es 3, por lo que tanto la altura como la línea de base del triángulo mayor son 3 veces la longitud correspondiente del menor, por lo que finalmente el área es 9 veces mayor.

Answer 3

Sí, los triángulos son similares. ¿Cómo puedes demostrarlo? (una forma sería encontrar 2 conjuntos de ángulos congruentes)

Ahora que sabemos que los triángulos son similares, vamos a intentar encontrar la razón de semejanza. Podemos intentar comparar las bases de los triángulos, las alturas (los lados "derechos") o las hipotenusas (los lados "izquierdos"). ¿Cuál conocemos mejor? (Pista: si AB = BC = CD, ¿qué dice eso de BD y AD?)

Por último, sí, existe una propiedad relativa a los triángulos semejantes y sus áreas. Mira a ver si puedes deducir cuál es: en este caso sabes cuánto miden la base y la altura de cada triángulo en proporción, así que debería ser fácil averiguarlo.

Answer 4

Debido a los triángulos similares tenemos que $$ \frac{DE}{DG}=\frac{CE}{AG}=\frac{1}{3}\longrightarrow \frac{DE}{DG}\cdot\frac{CE}{AG}=\frac{1}{9}\longrightarrow\frac{\displaystyle\frac{ DE \cdot CE}{2}}{\displaystyle\frac{DG\cdot AG}{2}}=\frac{42}{\triangle ADG}=\frac{1}9\longrightarrow \triangle ADG=378.$$

Q.E.D.

Answer 5

Los triángulos rectángulos CDE y ADG son similares ya que existe el ángulo común en D, el ángulo recto y el tercer ángulo (determinado ya que los triángulos tienen 180 grados). Así que todos los lados tienen la misma proporción. Como $AD=3CD$ , luego los otros lados, base $AG=3CE$ y la altura $GD=3ED$ . Utilizando la fórmula del área como $\frac{1}{2}$ base $\cdot$ altura, el área del triángulo mayor es 9 veces el área menor o $9\cdot 42=378$ .