Por qué dividir por cero sigue funcionando

Question

Hoy, estaba en una clase. Había una pregunta:

Si $x = 2 +i$ , hallar el valor de $x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ .

Lo que hizo mi profesor fue lo siguiente:

$x = 2 + i \;\Rightarrow \; x - 2 = i \; \Rightarrow \; (x - 2)^2 = -1 \; \Rightarrow \; x^2 - 4x + 4 = -1 \; \Rightarrow \; x^2 - 4x + 5 = 0 $ . Ahora dividió $x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ por $x^2 - 4x + 5$ .

El cociente era $x + 1$ y el resto $x - 6$ . Ahora bien, desde $\rm dividend = quotient\cdot divisor + remainder$ concluyó que $x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = x-6$ ya que el divisor es $0$ .

Enchufando $2 + i$ en $x - 6$ obtenemos $-4 + i$ .

Pero mi pregunta es, ¿cómo fue capaz de dividir por cero en primer lugar? ¿Por qué ha funcionado la división por cero en este caso?

Answer 1

La división que hizo tu profesor es una división polinómica. No dividió por cero; dividió por $x^2 - 4x + 5$ .

La división larga que hizo es sólo un algoritmo que permite obtener la siguiente identidad:

$$x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = (x^2 - 4x + 5)(x+1) + x-6$$

Se trata de una identidad que implica una multiplicación, no una división. Ahora, cuando se introduce $x = 2 + i$ no estás dividiendo por cero; estás multiplicando por cero, lo que debería estar de acuerdo en que está permitido.

Answer 2

La división era una división en el anillo polinómico $\mathbb{C}[x]$ por un polinomio no nulo

Por ejemplo: dividiendo $$x^{2}+2x+1$$ por $$x+1$$ que es un polinomio obtenemos $$(x+1)(x+1)=x^{2}+2x+1$$ ya que el cociente es $x+1$ y el recordatorio es $0$ . El resultado es un igualdad de los polinomios y es válido si se establece cualquier elemento en el campo en esos polinomios, incluso $x=-1$ .

Answer 3

$\begin{eqnarray}{\bf Hint}\quad&& f(x) = r(x) + q(x)\, \color{#c00}{g(x)}\quad \text{[divide } f\ \text{ by }\ g\ \text{ with quotient }\, q, \text{ remainder }\, r\,]\\ \stackrel{\large \color{#c00}{g(a)\,=\,0}}\Rightarrow && f(a) = r(a)\quad \text{by evaluation at } x = a,\text{ using }\ \color{#c00}{g(a) = 0}. \end{eqnarray}$

Porque escribimos la "división" como $\ f = q\,\color{#c00}g + r,\,$ no como $\smash[b]{\, \dfrac{f}{\color{#c00}g} = q + \dfrac{r}{\color{#c00}g},\,}$ no hay división por $\,0\,$ cuando evaluamos en una raíz de $\,\color{#c00}g.$

Su pregunta tiene $\,g\,$ cuadrática, con raíz $\,a = 2+i.\,$ El caso lineal más sencillo es bien conocido.

Para los lineales $\,g = x\! -\!a\,$ tenemos $\, r = f(a),\,$ es decir $\,f(x)\equiv f(r)\pmod{\!x\!-\!a}\ \ $ [ Teorema del Resto ]. $\ $

Dicho de forma equivalente $\ x\!-\!a\mid f(x)\!-\!f(a)\ \ $ [ Teorema del factor ]

Para más información, y una aplicación no trivial, véase el Método de encubrimiento de Heaviside para la evaluación parcial fracción descomposiciones. Esto implica explícitamente fracciones y, como tal, la elusión de la división por cero es más explícita.

Más explícitamente, podemos utilizar la división para calcular derivadas de polinomios de forma puramente algebraica

$$\begin{eqnarray} f'(a) &=\,& \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\Bigg|_{\large\, x\,=\,a}\\ \\ {\rm i.e.}\ \ \ f'(a) &=\,& q(a)\ \ {\rm where}\ \ f(x)-f(a) = q(x)(x-a)\end{eqnarray}$$

No hay división por cero porque la ecuación lineal previa define un único polinomio $\,q(x),\,$ y los polinomios no tienen sinularidades, es decir, pueden evaluarse en cualquier punto. Esto conduce a demostraciones puramente algebraicas de resultados analíticos conocidos, por ejemplo, el prueba de la doble raíz para los polinomios.

Para un ejemplo más extremo de elusión de la división por $\,0,\,$ véase esta discusión de una prueba de la identidad determinante de Sylvester. Incluso algunos profesores han pensado erróneamente que esta prueba implica la división por cero (un fuerte testimonio de las lagunas en la exposición de las propiedades universales de los polinomios en muchos cursos de álgebra). Pero aquí, como en los ejemplos anteriores, no hay, de hecho, ninguna división por cero, porque, antes de evaluación, se realiza válido operaciones polinómicas que eliminan las singularidades (aparentes). Así, para obtener toda la potencia algebraica universal de formal polinomios, hay que olvidar (temporalmente) su visión análitica (como funciones ). Esto es más fácil de decir que de hacer, ya que el sesgo analítico (funcional) está muy arraigado en nuestra intuición.

Answer 4

Porque sólo está dividiendo por cero cuando $x$ toma ese valor (o su conjugado), de lo contrario sólo está calculando qué es lo siguiente que tendrá que multiplicar. Sí, puede parecer un poco dudoso, piense en esto como una especie de cálculo de bolsillo. Es sólo un medio para averiguar el siguiente paso y como en la expresión final ya no tenemos este factor en el denominador, todo sale bien.

Piense, por ejemplo, en la factorización $x^2+7x+12$ . De forma similar, podemos dividir por $x+4$ y obtener un resultado de $x+3$ para concluir que $x^2+7x+12=(x+4)(x+3)$ . Aunque técnicamente sólo podemos dividir por $x+4$ si $x\not=-4$ El proceso sigue funcionando bien.