Problema de probabilidad/combinatoria. Un armario que contiene n pares de zapatos.

Question

Un armario contiene n pares de zapatos. Si se eligen 2r zapatos al azar, (donde 2r < n), ¿cuál es la probabilidad de que los zapatos elegidos no contengan un par coincidente?

He intentado pensar en este problema por mi cuenta y no he llegado mucho más lejos que deducir que hay ${2n \choose 2r}$ posibles combinaciones que podrían ser elegidas.

Cuando hice algunas búsquedas, encontré dos soluciones diferentes para este mismo problema y tengo problemas para discernir cuál sería correcta. No se da explicación con ninguna de las dos soluciones y soy relativamente nuevo en probabilidad y combinaciones, así que cualquier ayuda de alguien con un poco más de experiencia sería mucho apreciada.

Solución 1:
    La probabilidad se calcula como $$ {n \choose 2r}2^{2r}/{2n \choose 2r} $$

Solución 2:
    La probabilidad se calcula como $$ {n \choose r}2^{r}/{2n \choose 2r} $$

Si alguien pudiera decirme cuál de estas dos es la correcta y por qué. Entiendo que la probabilidad se da como un cierto número de combinaciones de entre el número total de combinaciones posibles. ¿Qué representan los dos factores diferentes en los numeradores, y en qué se diferencian en las dos soluciones?

Answer 1

Estamos eligiendo $2r$ zapatos. ¿Cuántas formas hay de evitar un par? Los pares representados en nuestra muestra pueden elegirse de $\binom{n}{2r}$ formas. De cada par elegido, podemos elegir el zapato izquierdo o el derecho. Hay $2^{2r}$ formas de hacerlo. Por lo tanto, de las $\binom{2n}{2r}$ formas igualmente probables de elegir $2r$ zapatos, $\binom{n}{2r}2^{2r}$ son "favorables".

Otra manera: Una forma quizás más natural de abordar el problema es imaginar la elección de los zapatos uno a la vez. La probabilidad de que el segundo zapato elegido no coincida con el primero es $\frac{2n-2}{2n-1}$. Dado que esto ha sucedido, la probabilidad de que el siguiente zapato no coincida con ninguno de los dos primeros es $\frac{2n-4}{2n-2}$. Dado que no hay coincidencias hasta ahora, la probabilidad de que el siguiente zapato no coincida con ninguno de los tres primeros es $\frac{2n-6}{2n-3}$. Continúa. Obtenemos un producto, que se ve un poco mejor si lo comenzamos con el término $\frac{2n}{2n}$. Entonces, una respuesta es $$\frac{2n}{2n}\cdot\frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-2}\cdot \frac{2n-6}{2n-3}\cdots \frac{2n-4r+2}{2n-2r+1}.$$ Esto se puede expresar de forma más compacta de diversas formas.

Answer 2

No estoy seguro/a acerca de la respuesta aquí.

$$ \begin{align*} & 2n \times (2n - 2) \times (2n - 4) \times (2n - 6) \times \cdots \times (2n - 4r + 2) \\ =& 2^{2r} \times n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - 2r + 1) \\ =& 2^{2r} \times \frac{ n! }{ (n - 2r)! } \end{align*} $$

Pero $\frac{ n! }{ (n - 2r)! } \Leftrightarrow \binom{n}{2r}$.