Reproducción de espacios de Hilbert de kernel y el teorema de isomorfismo

Question

Un espacio de Hilbert de reproducción kernel es un espacio de Hilbert en la cual la evaluación funcional

$L_x : f \rightarrow f(x)$ es continuo. Por continuidad, el teorema de representación de Riesz dice que este funcional se puede representar como un producto interno.

Tengo la sensación que hay algo fundamental que he malinterpretado aquí. Si cualquier dos espacios de Hilbert reales de la misma cardinalidad son isomorfos, entonces ¿por qué es que $l_2$ es un RKHS, pero $L^2[0,1]$ no?

Answer 1

Para resumir lo que Theo y Jonas ha dicho: Dos (complejo o real) de Hilbert espacios son isomorfos si tienen bases ortonormales con la misma cardinalidad, como espacios de Hilbert. Así, cada declaración que hace uso de la estructura de espacio de Hilbert, y es verdadero o falso para un espacio, será true o false para el otro.

Pero un concreto espacio de Hilbert puede tener más estructura que sólo la estructura de espacio de Hilbert. Cuando usted mira a la declaración de "Una reproducción de kernel espacio de Hilbert es un espacio de Hilbert en la que la evaluación funcional...", la "evaluación funcional"-parte presupone que el espacio de Hilbert bajo consideración (real o complejo valorado) funciones como elementos. Esta es una propiedad adicional de que algunos de Hilbert espacios y algunas no.

El espacio de $L^2[0, 1]$, por ejemplo, se compone de clases de equivalencia en lugar de funciones, y la "evaluación funcional" no se puede estar bien definido, pues de ello depende el representante de una clase de equivalencia $[f]$. De hecho, para cualquier $x \in \mathbb{R}$, y para cada número real $y$$\infty$$-\infty$, cada clase de equivalencia tiene un elemento $f$ tal que $f(x) = y$. Y yo también podemos definir un resumen complejo espacio de Hilbert diciendo que es el espacio generado por una base ortonormales $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Ahora uno no puede hacer sentido del término "evaluación funcional", debido a que los elementos de este espacio de Hilbert no son funciones.

Por otro lado, el espacio de Hardy de la unidad de disco (Wikipedia) consta de holomorphic funciones, por lo tanto, la evaluación funcional es bien definida. Es posible demostrar que también es continua, pero la prueba de que hace uso del hecho de que los elementos de este espacio de Hilbert son holomorphic funciones en la unidad de disco, que, como he dicho antes, es una estructura adicional que sucede a existir para el espacio de Hardy.

Todos estos ejemplos son isomorfos como separables complejo de espacios de Hilbert, pero este isomorfismo no dice nada acerca de cualquier estructura que pueda existir más allá de la estructura de espacio de Hilbert.