Inverso del teorema "lf un $c$ del número real es construible, entonces $c$ es algebraica de grado una potencia de 2 en el campo $\mathbb{Q}$ de racionales"

Question

En Thomas W. Hungerford de ÁLGEBRA de libro Capítulo V, la Propuesta 1.16 (página # 239) los estados que

lf un número real $c$ es edificable, a continuación, $c$ es algebraicas de grado una potencia de 2 más el campo de $\mathbb{Q}$ de los racionales.

Nuestra teoría de galois profesor dijo que el recíproco de este teorema no es cierto. Que es que hay al menos un número algebraico (decir $c_{0}$) que es algebraicas de grado una potencia de 2 más el campo de $\mathbb{Q}$ de los racionales, pero no es edificable. Así que traté de encontrar una agbebraic número. Pero estoy teniendo problemas para encontrar un contraejemplo. ¿Puede alguien por favor me den una sugerencia o una idea ?

Cualquier sugerencias/ideas son muy apreciadas. Gracias de antemano por las respuestas.

Answer 1

Es necesario encontrar un polinomio mínimo de grado una potencia de 2, pero la con partir campo grado habiendo otros factores.

Aquí está un ejemplo (de aquí): $x^4 + x + 1$

MO hay otro ejemplo.

Answer 2

Tenga en cuenta que el siguiente teorema se tiene: Vamos a $c\in\mathbb R$ ser un algebraica de números de más de $\mathbb Q$, y deje $K$ ser la división de campo de la polinomio mínimo de a$c$$\mathbb Q$. Los siguientes son equivalentes:

1. $c$ es edificable;

2. Hay una cadena de campos de $\mathbb Q= F_0\leq F_1\leq\ldots\leq F_k=\mathbb Q(c)$ tal que $|F_i:F_{i-1}|=2$, para todos los $1\leq i\leq k$;

3. $|K:\mathbb Q|= 2^n$, para algunas de las $n$.

La prueba de este teorema se utiliza parte de la teoría de Galois.

Así, por un contraejemplo encontrar un polinomio de grado $2^k$ cuya división de campo no es de grado $2^n$$\mathbb Q$.