Estoy leyendo el libro "Introducción a los colectores lisos" de John Lee. En su libro prueba un teorema llamado el teorema de la aproximación de Whitney que esencialmente establece que cualquier mapa continuo puede ser aproximado por un mapa liso.
Al final da una aplicación en la que prueba que cualquier homotropía entre colectores lisos es una isotropía. Me pregunto si tiene más aplicaciones. Gracias.
Lo que quieres decir en el último párrafo es que dos mapas homotópicos lisos son homotópicos lisos. Encuentro esto un hecho bastante agradable, que la "teoría de la homotropía suave" en los colectores es lo mismo que la continua.
Los mapas lisos se comportan bien, mucho mejor que los mapas continuos. Aquí hay una prueba del teorema del punto fijo de Brouwer sin ninguna topología algebraica.
Supongamos que tengo un mapa $f: D^n \to S^{n-1}$ esa es la identidad en el límite. Entonces, usando una versión del teorema de Whitney, puedo asumir que este mapa es suave. Elija un valor regular $x \in S^{n-1}$ estos existen por el teorema de Sard. Luego por una versión del teorema de valor regular $f^{-1}(x)$ es una apropiadamente incrustada (es decir, $ \partial f^{-1}(x) = f^{-1}(x) \cap \partial D^n$ ) submúltiple compacto de la dimensión 1. Por lo tanto, tiene un número par de puntos finales. Pero el mismo hecho de que $f$ es la identidad en el límite significa que $f^{-1}(x) \cap \partial D^n = \{x\}$ - que es un punto. Contradicción. De ahí lo de Brouwer.
Puedes imaginar que otros argumentos también pueden beneficiarse de la suposición de que el mapa es suave.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
