He completado el estudio de Lang Álgebra Lineal ($3^\text{rd}$ edición). Para ponerlo simplemente, he disfrutado de el tema y me gustaría saber "qué es lo siguiente".
En otras palabras, me gustaría saber
Yo iría por algunos capítulos posteriores de Avanzada de Álgebra Lineal, de Steven Romano, y de Álgebra Lineal y Geometría, de Kostrikin y Manin. Acerca de los problemas abiertos en Álgebra Lineal, usted puede tomar un vistazo a los comentarios en esta pregunta: ¿hay problemas abiertos en Álgebra Lineal?. Particularmente, me resulta difícil encontrar problemas abiertos en álgebra lineal, ya que (en mi punto de vista) una gran parte de esto se debe principalmente idioma para temas más avanzados como el análisis funcional, geometría diferencial, etc.
Permítanme concisa pero frente adecuadamente a sus preguntas.
1) Aprender sobre el tensor de productos y álgebra multilineal en general. (Desde que te mencione que usted lee Lang álgebra lineal libro, hay una más avanzados de álgebra libro de Lang, llamado - ¿adivinen qué - Álgebra; se trata de un estándar de referencia.) Estas cosas son totalmente crucial, por ejemplo, en álgebra conmutativa, geometría algebraica, topología algebraica, la física matemática, etc. También permiten darle más canónica de definiciones y puntos de vista sobre temas clásicos como el determinante o el seguimiento. Lang tratamiento de los usos de los módulos sobre anillos conmutativos), que son los naturales de la generalización de los espacios vectoriales, y recomiendo encarecidamente que usted aprenda acerca de módulo de teoría (también de Lang Álgebra). A continuación, la forma natural de proceder es aprender acerca de álgebra homológica (Lang, Álgebra contiene una introducción, pero hay mucho más para aprender). (Un profesor de la mina llamada álgebra homológica inteligente "álgebra lineal", que es, en cierto sentido, es la verdad).
2) en realidad me hizo esta pregunta a mí mismo; un profesor mío, respondió diciendo que "álgebra lineal es trivial y no un sujeto de la investigación actual", así que sólo puedo salir con esto. Tenga en cuenta que esto es lo que él dice y no lo creo, personalmente, creo que hay no son probablemente una gran cantidad de personas que se consideran "la pura lineal algebraists" (de la misma manera que probablemente casi cualquier profesional matemático sería describe su campo de investigación como "cálculo" en el sentido estrecho), pero muy pocos que estudian álgebra lineal numérica.
Yo recomiendo aprender acerca de otros temas de matemáticas que se emplean en el lenguaje y las técnicas de álgebra lineal. Los dos ejemplos más claros para mí son el análisis funcional y la geometría diferencial. En el análisis funcional se llega a ver las ideas de los espacios vectoriales, con excepción de aquellas que se expanden en los casos de infinito-dimensional de Banach y de Hilbert espacios, el último de los cuales es fundamental para la estructura de la mecánica cuántica. En geometría diferencial álgebra lineal es necesaria para entender la tangente espacios y los derivados de la multidimensionales mapas entre los colectores, etc.
Como otros han dicho anteriormente, es probablemente difícil encontrar moderno "puro" de álgebra lineal de la investigación, y la "más avanzada" de los temas que usted está buscando se puede encontrar en otras áreas de las matemáticas que se emplean en álgebra lineal. Puede que también desee aprender acerca de la teoría de la representación así.
Yo realmente como Introducción a un Análisis de la Matriz por Richard Bellman.
Has estudiado álgebra abstracta? Creo que es un paso natural después de aprender álgebra lineal, como un espacio vectorial es a menudo uno de los (si no el) primer resumen algebraica de la estructura de un estudiante encuentros. Tal vez echar un vistazo a Dummit y Foote del texto. También cubre gran parte de lo "avanzado" de álgebra lineal del texto, y mucho más.
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