Número de generadores de los ideales máximos en anillos polinomiales sobre un campo

Question

Hola estoy tratando de probar la siguiente

Si $K$ es un campo (no es necesario algebraicamente cerrado), a continuación, cada ideal maximal de a $K[x_{1},\dots,x_{n}]$ es generado por exactamente $n$ elementos.

Sé que si $K$ es algebraicamente cerrado por Hilbert base el problema se hace. Pero si $K$ no es algebraico cerrado, sé que la dimensión de Krull $K[x_{1},\dots,x_{n}]$ $n$ y por la generalizada del teorema de Krull tenemos que cada ideal que ha de altura en la mayoría de las $n$, pero estoy pegado en este punto.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

No hay necesidad de utilizar cualquier dimensión de la teoría. Más bien, la prueba es por inducción. El caso de $n = 1$ es bien conocida, así que no voy a repetir aquí.

Ahora, supongamos $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal de a $A = K [x_1, \ldots, x_n]$. Por una generalizada Nullstellensatz, sabemos que $A / \mathfrak{m}$ es un campo finito de extensión de $K$; en particular, la imagen de $x_n$ $A / \mathfrak{m}$ tiene un mínimo de polinomio $f_n (t)$$K$. Claramente, $f_n (x_n) \in \mathfrak{m}$. Deje $L = K[x_n] / (f_n (x_n))$. A continuación, $A / \mathfrak{m} \cong L[x_1, \ldots, x_{n-1}] / \mathfrak{n}$ para un ideal maximal $\mathfrak{n}$$L [x_1, \ldots, x_{n-1}]$. Usando la hipótesis de inducción, sabemos que $\mathfrak{n}$ es generado por $n - 1$ elementos, decir $f_1 (x_1, \ldots, x_n), f_2 (x_2, \ldots, x_n), \ldots, f_{n-1} (x_{n-1}, x_n)$. A continuación, $\mathfrak{m}$ es generado por $f_1 (x_1, \ldots, x_n), f_2 (x_2, \ldots, x_n), \ldots, f_n (x_n)$, debido a $K [x_1, \ldots, x_n] / (f_n (x_n)) \cong L [x_2, \ldots, x_n]$.