¿Cómo demostrar que el resultado de multiplicar dos números del mismo conjunto está en el mismo conjunto?

Question

Soy químico y estoy estudiando álgebra abstracta por mi cuenta así que no sé si es una pregunta trivial.

Si tengo por ejemplo dos números $a$ y $b$ (donde $ a,b \in \mathbb{Q} $ ). ¿Cómo puedo demostrar que $a \times b \in \mathbb{Q} $ ? Por supuesto que me interesa aunque los números $\in \mathbb{Z}$ o cualquier conjunto. Lo que me gustaría saber es la demostración de este supuesto, y si es válido para todo conjunto ( $\mathbb{N,Q,I,R} \ldots)$ y funcionamiento.

Por lo que estoy leyendo parece que esto se deduce porque la multiplicación es una operación y por tanto el conjunto es cerrado bajo la operación $\times$ . ¿Pero por qué?

Answer 1

En general, cuando definimos en matemáticas un estructura $S$ esto es (al menos) una "pareja" $\langle D, * \rangle$ hecho por un dominio " $D$ " de "objetos" y un operación (" $*$ ", por ejemplo, un binario uno) definidos en ellos, y escribimos :

$S = \langle D , * \rangle$ .

En este caso, "por definición" el dominio está "cerrado bajo" la operación, es decir

para todos $a, b \in D$ tenemos que $a*b \in D$ .

El ejemplo más sencillo es $\langle \mathbb N, + \rangle$ .

Pero después de haber definido el estructura podemos introducir nuevas operaciones ("derivadas"), como " $-$ " en $\mathbb N$ . En este caso, no es cierto en general que la estructura siga cerrada bajo la nueva operación.

Si ponemos :

$a - b$ si $\exists x (a = b+x)$

tenemos eso, por ejemplo, $2 - 3$ es no definido en $\mathbb N$ .

Answer 2

Esto es válido para sus ejemplos $\mathbb Q$ y $\mathbb Z$ .

Si $a,b \in \mathbb Q$ entonces $a=\frac{p}{q}$ y b = $\frac{r}{s}$ donde $p,q,r,s \in \mathbb Z$ y $q,s \ne 0$ Ahora $a\times b = \frac{pr}{qs}$ . Y si $pr,qs \in \mathbb Z$ entonces $ab \in \mathbb Q$ . Así que el primer problema se reduce al segundo, como ejercicio, intenta demostrar la segunda parte por ti mismo.

Sin embargo, no es válido para todos los conjuntos. Consideremos el conjunto $A=\{3,4\}$ . Ahora $3,4 \in A$ pero $3\times4 \not \in A$

Además, esto no es necesario para todo operaciones tampoco. Piensa en la sustracción. Si $a,b \in \mathbb N$ , $a-b \in \mathbb N$ no tiene por qué ser cierto.

Considere la división, si $a,b \in \mathbb Z$ , $\frac{a}{b} \in \mathbb Z$ tampoco tiene por qué ser cierto.

Si considera que $\sqrt{x}$ para ser una operación, esto no es válido en $\mathbb Q$ o bien.

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EDITAR: Al parecer, me equivoqué en la definición de "operación". Según un usuario, la declaración original "es válido para cada conjunto y operación" es verdadera por definición. Véase el hilo de comentarios más abajo.

Answer 3

El conjunto de los racionales es cerrado bajo la multiplicación. Se puede demostrar si se toma la representación $$a=\frac pq, b=\frac rs \implies a\times b= \frac {pr}{qs}$$ , donde $p,q,r,s$ son números enteros. Aquí utilizamos el hecho de que $\mathbb{Z}$ también es cerrado bajo la multiplicación y tiene divisores no nulos. Sin embargo, por ejemplo, los iracionales no son cerrados bajo la multiplicación. Obsérvese que $\sqrt{3}\sqrt{3}=3$ .

Answer 4

Algunos libros de álgebra abstracta asumen que la multiplicación es cerrada para los números naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos.
La multiplicación en los números complejos se define a expensas de la multiplicación en los números reales. De hecho, los propios números complejos se construyen a expensas de los números reales.
La multiplicación en los números reales se define a expensas de la multiplicación en los números racionales. De hecho, los propios números reales se construyen a expensas de los números racionales.
La multiplicación en los números racionales se define a expensas de la multiplicación en los enteros. Una vez hecho esto, se puede demostrar que la multiplicación en los números racionales es cerrada. De hecho, los propios números racionales se construyen a expensas de los números enteros.
La multiplicación en los números enteros en definida a expensas de la multiplicación en los números naturales. De hecho, los propios números enteros se construyen a expensas de los números naturales.
Funciona igual para la suma.

Así que se reduce a saber definir la multiplicación en los números naturales y luego construir cada uno de los pasos anteriores.

La multiplicación en los números naturales se define, por cierto, a expensas de la suma en los números naturales.

Algunos libros de álgebra abstracta tratan parte del proceso anterior. Nunca he visto que se haga todo en un libro de álgebra abstracta. Normalmente se asume la suma en los números naturales y el resto se hace a partir de ahí.

Para ver cómo se define la suma en los números naturales, deberías coger un libro de teoría de conjuntos elemental.

Va más o menos así. Se parte del conjunto de los números naturales (que también se pueden definir) al que se le aplica algo llamado $0$ pertenece y un función de sucesión es decir, una función que, dado un número natural, produce lo que intuitivamente se llama su sucesor. Dado un número natural $n$ es común denotar a su sucesor por $n^+$ .

A partir de esto se define $+_{\mathbb N}$ de forma recursiva, de la siguiente manera: dejemos que $m,n\in \mathbb N$ entonces

1. $n+_{\mathbb N}0:=0$
2. $n+_{\mathbb N}m^+:=(n+_{\mathbb N}m)^+$

A partir de aquí se pueden demostrar las propiedades esperadas como $n+_{\mathbb N}1=n^+, m+_{\mathbb N}(n+_{\mathbb N}k)=(m+_{\mathbb N}n)+_{\mathbb N}k$ etc.

Entonces la multiplicación en $\mathbb N$ puede definirse y se sube a partir de ahí.

No me centré en demostrar realmente que la multiplicación en $\mathbb Q$ se cierra porque tal problema sólo se le planteó al OP por su desconocimiento del proceso explicado anteriormente.