Linealización de $ m \dfrac{dy^2}{dt^2} = u(t) - C_d \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2-mg $

Question

$$ m \frac{dy^2}{dt^2} = u(t) - C_d \left( \frac{dy}{dt} \right)^2-mg $$

donde $$\begin{align*} y(t)&=\text{missile altitude}\\ u(t)&= \text{force}\\ m&= \text{mass}\\ C_d&= \text{aerodynamic drag coefficient} \end{align*}$$ ¿Cómo linealizo esta bestia? Quiero obtener una función de transferencia para poder crear un controlador PID para ella..

Estoy realmente perplejo y me vendría bien algo de ayuda.

Answer 1

Si se quiere diseñar un controlador PID para un sistema no lineal basado en la linealización, el primer paso es tener que establecer un punto de operación para la altitud $x_1^*$ y otro punto de operación para la velocidad $x_2^*$ .

Reescribe tu sistema en forma de variable de estado

$$ \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = -\frac{C_d}{m}x_2^2 -g + \frac{u}{m} $$ , donde $x_1$ es la altitud y $x_2$ es la velocidad. En forma de matriz

$$ \begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & -\frac{C_d}{m}x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ \frac{u}{m} - g\end{bmatrix} \\ y = Ix $$

He asumido aquí que puedes observar ambos, la altitud y la velocidad.

A continuación, tienes que calcular el jacobiano del sistema evaluado en tus puntos de operación (te darás cuenta de que la altitud no importa), y tendrás tus matrices constantes A, B, C y D.

Para calcular la función de transferencia deseada, puede comprobar las equivalencias aquí Representación del espacio de estados

Tenga en cuenta que su PID sólo es válido para una vecindad sobre su velocidad deseada. Es decir, usted quiere mantener su velocidad deseada a partir de esta velocidad deseada, y no de otra velocidad.