Orden máximo de elementos en $GL(n,Z)$

Question

Hola,

Sé que $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ tiene un elemento de orden $m$ si $\Phi(m)\leq n$ , donde $\Phi(m) = \varphi(m)$ si $p_1^{\alpha_1}\neq 2$ o $m=2$ , $\Phi(m) = \varphi(m)-1$ si $p_1^{\alpha_1}= 2$ o $m\not=2$ y $\varphi$ es el totiente de Euler.

A partir de ahí puedo demostrar que el orden máximo de un elemento de orden finito en $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ , $f(n)$ estática $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{\ln f(n)}{\sqrt{n\ln n}} =1$ .

Esta es mi pregunta:

¿Podemos encontrar el comportamiento asintótico de $f(n)$ (y no $\ln \bigl(f(n)\bigr)$ )?

Answer 1

Ver MR1655470 (99m: 20111) en MathSciNet.

Answer 2

Por el hecho que citas, parece que

$$ f(n) = \max \{ m : \Phi(m) \le n \}. $$

Por ejemplo, $\Phi(30) = 7$ y $\Phi(m) \ge 11$ para todos $m \ge 31$ (tenga en cuenta que como $\phi(n) \ge \sqrt{n}$ sólo necesitamos comprobar un número finito de valores). -- por lo que $f(7) = f(8) = f(9) = f(10) = 30$ .

Ahora, considere el hecho de que $$ \lim \inf \phi(n) {\log \log n \over n} = e^{-\gamma} $$ que es la ecuación (20) en este Artículo de Mathworld . Por supuesto, esto es válido si sustituimos $\phi$ por $\Phi$ .

Así que $f(n)$ debería crecer como la inversa de la función $$ n \to {e^{-\gamma} n \over \log \log n} $$ . Parece, pues, que $f(n) \sim e^\gamma n \log \log n$ como $n \to \infty$ .

Lamentablemente, esto no coincide con su estimación. Uno de nosotros se equivoca en alguna parte.

EDITAR : Creo que mi argumento es básicamente correcto, pero el hecho original fue expuesto incorrectamente. Según el artículo de Levitt que Stanley señaló, en realidad deberíamos tener

$$ \Phi( p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}) = \phi(p_1^{\alpha_1}) + \cdots + \phi(p_k^{\alpha_k}) - [k \equiv 2 \mod 4] $$

y así $\Phi(x)$ suele ser mucho menor que $\phi(x)$ -- por lo tanto $f$ crece mucho más rápido de lo que dije.