Las series convergen o divergen

Question

Dadas las siguientes series:$\sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n-1})^{\alpha }$ donde$\alpha \in \mathbb{R}$. ¿Las series convergen o divergen?

Los intentos para resolver el problema:

1)$\lim_{n\to\infty} (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n-1})^{\alpha } = 0$ - no es útil.

2) Usó la fórmula$a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2})$ - no es útil.

3) La prueba de ración tampoco es útil.

Answer 1

La fórmula$a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2})$ en realidad puede ser muy útil. Tenga en cuenta que implica que

ps

Para que el$$\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}=\frac{2}{(n+1)^{2/3}+(n^2-1)^{1/3}+(n-1)^{2/3}}.$ ($n$ lo suficientemente grande lo haga con seguridad, y puede obtener límites más ajustados al ir más lejos), ese denominador se comprime entre$n\gt2$ y$\frac{3}{2}n^{2/3}$ Convergencia es la misma que para la serie$6n^{2/3}$.