Es Hodge teoría conectada de alguna manera con un grupo de Galois de acción Gal(C/R)?

Question

Actualmente estoy tomando un curso en teoría de Hodge ... y me pregunto si todas las escisiones en $\{i,-i\}$ Autovalor pares vienen desde el grupo de Galois de la acción (de la extensión de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$) - a mí me parece como que (y yo no podía encontrar una declaración en mi libro de texto).

¿Es esto cierto? Si sí, esta es una buena manera de pensar de la descomposición de Hodge o necesita uno más datos de los que sólo el grupo de Galois? Si no, ¿cuál es mi idea errónea?

Pensé (si mi suposición es cierta), esta sería una manera de generalizar a otros algebraicas campo de extensiones.. hay análogos de la teoría de Hodge para cualquier algebraica de extensión de campo? En qué consiste el grupo de Galois?

Si esta pregunta no es "researchy" lo suficiente, acaba de cerrar ... voy a volver a hacer preguntas en un año :-)

Answer 1

Como tengo entendido acc. a Gelfand/Manin "Álgebra Homológica" p. 140, la idea de Hodge estructuras trata de representaciones de Galois en aritmética y luego fue por Deligne "yoga des poids" trasladado al complejo de variedades. Pero no es (o era? El libro fue escrito hace 20 años) claro cuál es el grupo de simetría (llamado "Hodge simetrías" en el libro) se esconde detrás de ella.

Answer 2

Estás en lo correcto: hay una conexión con la teoría de Galois de $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ aquí.

Para dar una estructura de Hodge en un verdadero espacio vectorial $V$ -- es decir, una suma directa de descomposición de su complejización en $(p,q)$ subespacios tales que $H^{q,p}$ es el conjugado complejo de $H^{p,q}$, que equivale a dar una acción de $G = \operatorname{Res}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{C}^{\times}$$V$. Aquí $\operatorname{Res}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{C}^{\times}$ significa que la "restricción de escalares" de $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ de la compleja grupo multiplicativo $\mathbb{C}^{\times}$. En términos simples, esto significa que tenemos que ver $\mathbb{C}^{\times}$ no como una dimensión compleja algebraica de grupo, sino como un 2-dimensional real algebraica de grupo, un "nonsplit toro". A continuación, el hecho de que tenemos un homomorphism de verdaderos grupos

$$G \to \operatorname{GL}(V)$$

implica una condición adicional en el complexified representación $\mathbb{C}^{\times} \to \operatorname{GL}(V \otimes \mathbb{C})$: es decir, que el espacio de $V^{p,q}$ que $z$ $\mathbb{C}^{\times}$ actos como $z^{p} \overline{z}^q$ es el complejo conjugado del espacio $V^{q,p}$.

Una breve (pero precisa!) discusión de esto se puede encontrar en

http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_structure#Hodge_structures