Sea$R$ un anillo local Artiniano. Entonces$R$ es un anillo de Gorenstein (es decir,$R$ es un módulo inyectivo$R$ -) iff para cualquier% ideal $I$de% %Ana$R$. ¿Por qué? (Se llama$($ Gorenstein si la dimensión inyectiva de$(I))=I$ es finita.)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es una consecuencia de una forma mucho más general de la equivalencia de las condiciones de la definición de cuasi-Frobenius anillos:
Teorema 15.1 (T. Y. Lam, Conferencias sobre los módulos y anillos pg 409)
Para cualquier anillo de $R$, los siguientes son equivalentes:
(1) $R$ es derecho Noetherian y el derecho de auto-inyectiva
(4) $R$ es de dos caras Artinian y satisface las siguientes condiciones:
-(a) $l.ann(r.ann(L))=L$ por cada izquierdo ideal $L$
-(b) $r.ann(l.ann(T))=T$ para cada ideal de derecho $T$
El $l.ann$ significa "izquierda annihlator" y el $r.ann$ significa "derecho annihilator," pero, por supuesto, en su caso, la cantidad a $Ann(Ann(-))$
Usted puede encontrar una completa prueba (es un poco involucrados) en el libro citado, creo que probablemente en Anderson y Fuller, del libro, y definitivamente en Nicholson y Yousif del libro.
Apuesto a que el extra de los supuestos tienen acerca de la conmutatividad y localnes le permitirá hacer algunas simplificaciones.
Otro hecho a tener en cuenta es esta:
Entre conmutativa Artinian local de los anillos, el Gorenstein son exactamente aquellos con un (distinto de cero) de un mínimo ideal de contenidos en todos los otros ideales. Tal vez usted encontrará un segundo camino que el uso de esta equivalencia.
