Mostrar que$p=2$ y$q=3$

Question

¿Existen primos$p,q$ donde$p\neq 2$,$q\neq 3$ y$p<q$ tales que

$p^2\equiv 1\pmod{q}$ Y$q\equiv 1\pmod{p}$?

Creo que la respuesta es no. Supongamos que existe un par de% prime% #% tal que$(p,q)$ y$p^2\equiv 1\pmod{q}$.

Necesitamos mostrar que$q\equiv 1\pmod{p}$,$p=2$.

$q=3$ Y$p^2\equiv 1\pmod{q}$. Tenemos$q\equiv 1\pmod{p}$ y$p^2\equiv 1\pmod{q}\implies q\mid p+1$.

¿Cómo mostrar que$p\mid q-1$,$p=2$ desde aquí?

Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 1

Tienes$q\mid (p^2-1)$ y$p\mid (q-1)$.

Desde la primera condición, tiene$q\mid (p-1)$ o$q\mid(p+1)$. La primera no puede contener, porque$p<q$. En el segundo caso, obtendrá$q=p+1$: de hecho,$p+1\le q$ y$q\mid(p+1)$ implican$q=p+1$. Si$p$ es impar, entonces$q$ sería igual, lo cual es imposible.