Desde que le preguntó acerca de la integral indefinida, voy a presentar un par de identidades y definiciones:
$${\rm li} (x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t} \tag{1}$$
$$\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\ln{x}) \tag{2}$$
$$\operatorname{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}t\,dt. \tag{3}$$
Donde ${\rm li} (x)$ es la logarítmica integral, y $\operatorname{Ei}(x)$ es la integral exponencial.
Inicia mediante la sustitución que se ha intentado, es una buena:
$$x=e^t \iff dx=e^t ~dt$$
Por tanto de dar:
$$\int \frac{x^7-1}{\ln{x}}~dx=\int \frac{e^{7t}-1}{t}\cdot e^t~dt=\int \frac{e^{8t}-e^t}{t}~dt=\color{green}{\int \frac{e^{8t}}{t}~dt}-\color{blue}{\int \frac{e^t}{t}~dt}$$
Sustituyendo $u=8t$ $\color{green}{\text{green}}$ integral y la aplicación de $(3)$, tenemos:
$$\int \frac{e^{8t}}{t}~dt=\int \frac{e^u}{u}~du=\operatorname*{Ei}(u)+c_1=\operatorname*{Ei}(8\ln{x})+c_1$$
El $\color{blue}{\text{blue}}$ integral es fácil, podemos aplicar el $(3)$, después de aplicar $(2)$.
$$\int \frac{e^t}{t}~dt=\operatorname*{Ei}(t)+c_2=\operatorname*{Ei}(\ln{x})+c_2=\operatorname*{li}(x)+c_2$$
La combinación de los dos resultados, se obtiene el resultado deseado.
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int \frac{x^7-1}{\ln{x}}~dx=\operatorname*{Ei}(8\ln{x})-\operatorname*{li}(x)+C}$$
Edit: Acabo de hacer la respuesta más hábil, puede separar las integrales de inmediato:
$$\int \frac{x^7-1}{\ln{x}}~dx=\color{#0066ff}{\int \frac{x^7}{\ln{x}}~dx}-\color{#990000}{\int \frac{1}{\ln{x}}~dx}$$
Para el $\color{#0066ff}{\text{light blue}}$ integral, podemos sustituir el $x=e^{t/8}$ para obtener:
$$\int \frac{x^7}{\ln{x}}~dx=\int \frac{e^t}{t}~dt=\operatorname*{Ei}(t)+c_1=\operatorname*{Ei}(8\ln{x})+c_1$$
Y para el $\color{#990000}{\text{red}}$ integral, podemos aplicar de inmediato $(1)$:
$$\int \frac{1}{\ln{x}}~dx=\operatorname*{li}(x)+c_2$$
La combinación de los dos resultados da la misma respuesta que la anterior.
