¿Cómo pensar en las teorías que demuestran su propia inconsistencia?

Question

Hay consistente teorías de primer orden que demuestran su propia inconsistencia. Por ejemplo, construye una así:

Suponiendo que exista una teoría de primer orden consistente y suficientemente expresiva, llámese $T'$ . El teorema de incompletitud nos da que $\mathrm{Con}(T')$ (la consistencia de $T'$ ) no es demostrable en $T'$ . Por lo tanto, $T=T'+\neg\mathrm{Con}(T')$ es consistente. Dado que $T$ demuestra que podemos derivar una contradicción de $T'$ solo, también demuestra que podemos derivarlo de $T$ (porque $T'\subset T$ ). Así que $T$ es consistente pone demuestra $\neg\mathrm{Con}(T)$ .

¿Cómo pensar en una teoría tan extraña? Obviamente, la teoría $T$ está mintiendo sobre sí mismo. Pero, ¿qué significa matemáticamente esta mentira? ¿Las fórmulas y reglas deductivas se interpretan en el lenguaje de $T$ diferente a la de mi meta teoría? ¿Puedo confiar en $T$ ¿la capacidad de expresar la lógica, la deducción y la aritmética en absoluto?

Tenga en cuenta que una teoría $T$ como el anterior es sólo un ejemplo para demostrar que esas extrañas teorías puedan existir. Podría ser difícil argumentar sobre la utilidad de una teoría con un axioma tan complicado y altamente dudoso como $\neg\mathrm{Con}(T')$ . Pero no todos esos teorías autofalsificadoras debe ser tan obvio y artificial. Por ejemplo, podría ser que ZFC pueda demostrar $\neg\mathrm{Con(ZFC)}$ sin dejar de ser coherente. Pero cómo podemos confiar en una teoría que no refleja nuestra lógica incluso cuando intentamos aplicarla cuidadosamente. ¿Cómo podemos estar seguros de que todos los demás teoremas sobre la lógica derivados en ZFC son dignos de confianza a pesar de que ZFC demuestra al menos una afirmación errónea (errónea en el sentido de que nuestra meta-lógica nos da un resultado diferente al de la lógica de prueba interna de ZFC).

Answer 1

Cuando pensamos en teorías como ZFC o PA, a menudo las vemos fundacionalmente : en particular, a menudo suponemos que son verdadero . La verdad es muy fuerte. Aunque es difícil decir exactamente lo que significa que ZFC sea "verdadera" (¡a primera vista tenemos que comprometernos con la existencia real de un universo de conjuntos!), algunas consecuencias de que sea verdadera son fáciles de averiguar: las cosas verdaderas son consistentes, y -ya que su consistencia es verdadera- no prueban que sean inconsistentes.

Sin embargo, esto hace que cosas como PA + $\neg$ Con(PA) parecen misteriosos. Entonces, ¿cómo vamos a entenderlos?

La clave es recordar que -suponiendo que trabajemos en alguna metateoría apropiada- una teoría debe ser pensada como su clase de modelos . Una teoría es consistente si tiene un modelo. Así que cuando decimos PA + $\neg$ Con(PA) es consistente, lo que queremos decir es que hay semirings ordenados (= modelos de PA sin inducción) con algunas propiedades muy fuertes.

Una de estas propiedades fuertes es el esquema de inducción, que se puede reformular teóricamente diciendo que estos semirings ordenados no tienen cortes propios definibles .

Resulta muy útil en el futuro para conocer los modelos no estándar de AP como estructuras por derecho propio, en contraposición a las interpretaciones "incorrectas" de la teoría; El libro de Kaye es una muy buena fuente aquí.

La otra es que satisfacen $\neg$ Con(PA). Este parece misterioso ya que pensamos en $\neg$ Con(PA) como afirmación de un hecho en el metanivel. Sin embargo, recordemos que todo el sentido del teorema de incompletitud de Goedel en este contexto es que podemos escribir una frase en el lenguaje de la aritmética que probar externamente es verdadera si PA es inconsistente. Después de Goedel, el teorema MRDP demostró que podemos tomar esta sentencia de la forma " $\mathcal{E}$ tiene una solución" donde $\mathcal{E}$ es una ecuación diofantina específica. Así que $\neg$ Con(PA) sólo significa que se produce un determinado comportamiento algebraico.

Así que los modelos de PA+ $\neg$ Con(PA) son sólo semirres ordenados con algunas propiedades interesantes - no tienen cortes definibles propios, y tienen soluciones a algunas ecuaciones diofantinas que no tienen soluciones en $\mathbb{N}$ . ¡Esto los desmitifica mucho!

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Así que ahora volvamos al significado de la frase aritmética que llamamos " $\neg$ Con(PA)". En la metateoría, tenemos un objeto que llamamos " $\mathbb{N}$ " y lo demostramos:

Si $T$ es una teoría recursivamente axiomatizable, entonces $T$ es coherente si $\mathbb{N}\models$ " $\mathcal{E}_T$ no tiene soluciones".

(Aquí $\mathcal{E}_T$ es el análogo de $\mathcal{E}$ para $T$ ; recuerda que por el teorema del MRDP, estamos expresando " $\neg$ Con(T)" como " $\mathcal{E}_T$ no tiene soluciones" para simplificar). Nótese que esta afirmación es específica para $\mathbb{N}$ Otros semirrígidos ordenados, incluso los más bonitos, no tienen por qué funcionar en lugar de $\mathbb{N}$ . En particular, habrá muchos semirings ordenados que nuestra metateoría demuestra que satisfacen PA, pero para los que la afirmación análoga a la anterior falla.

Vale la pena pensar en una situación análoga en las matemáticas sin fundamento. Tomemos un espacio topológico $T$ y que $\pi_1(T)$ y $H_1(T)$ sea el grupo fundamental y el primer grupo de homología (con coeficientes en $\mathbb{Z}$ , digamos) respectivamente. No preste demasiada atención a lo que son La cuestión es que ambos grupos codifican el comportamiento de $T$ que están estrechamente relacionados en muchos aspectos. Estoy pensando en $\pi_1(T)$ como el análogo de $\mathbb{N}$ y $H_1(T)$ como el análogo de un modelo no estándar que satisface $\neg$ Con(PA), respectivamente.

Ahora bien, la afirmación " $\pi_1(T)$ es abeliano" (aquí, mi análogo de $\neg$ Con(PA)) nos dice mucho sobre $T$ (créanme). Pero la afirmación " $H_1(T)$ es abeliano" no nos dice lo mismo (en realidad no nos dice nada: $H_1(T)$ es siempre abeliano :P).

Tenemos un grupo $G$ y algún otro grupo $H$ similar a $G$ de muchas maneras, y una propiedad $p$ y si $G$ tiene $p$ Aprendemos algo, pero si $H$ tiene $p$ no aprendemos esa cosa. Esto es exactamente lo que ocurre aquí. No es la propiedad por sí misma la que tiene algún significado, es la afirmación de que la propiedad tiene de un objeto específico que conlleva un significado útil para nosotros. A menudo confundimos estas dos cosas, ya que hay una noción clara de "verdad" para las oraciones aritméticas, pero pensar en ello en estos términos debería desmitificar teorías como PA+ $\neg$ Con(PA) un poco.

Answer 2

Si entiendo bien tu problema la clave para resolverlo es pensar detenidamente en el concepto de codificación.

Para simplificar, permítanme considerar el caso en el que $T'$ es PA (Aritmética de Peano).

La internalización de las propiedades sintácticas de la AP utiliza en sí misma una codificación que es aproximadamente un mapeo que asocia a las fórmulas y a las pruebas términos constantes (sus codificaciones) y a las propiedades metateóricas (" $x$ es una prueba de $y$ en PA ", " $x$ es demostrable en PA", etc) fórmulas en el lenguaje de $T$ de tal manera que se cumpla lo siguiente:

si $RS$ es una propiedad sintáctica (metateórica) y $O_1,\dots,O_n$ son objetos sintácticos (fórmulas o pruebas) entonces $RS(O_1,\dots,O_n)$ se mantiene si y sólo si $PA \vdash Enc(RS)(Enc(O_1),\dots,Enc(O_n))$ , donde $Enc$ es el mapeo que asocia a los objetos sintácticos sus codificaciones en $PA$ de la lengua.

Lo importante es tener en cuenta que este condición de codificación se requiere que se mantenga sólo para codificaciones .

Ahora consideremos una teoría $T=PA+\neg Enc(Con(PA))$ en el lenguaje de la aritmética.

Claramente $T \vdash \neg Enc(Con(PA))$ ¿pero qué significa esto? Por solidez y exhaustividad esto equivale a decir que en cada estructura aritmética $M$ que es un modelo de $T$ debe mantener $M \models \neg Enc(Con(PA))$ . Tenemos que $$Enc(Con(PA))\equiv \neg \exists x\ Enc(\text{*is a proof*})(x,Enc(\bot))$$ por lo que $$\neg Enc(Con(PA)) \equiv \exists x\ Enc(\text{* is a proof *})(x,Enc(\bot))$$ por lo que en cada modelo $M$ de $T$ hay un elemento $m \in M$ tal que $$M \models Enc(\text{* is a proof *})(m,Enc(\bot))$$ el problema es que este $m$ no es una codificación, ni siquiera se requiere que sea la interpretación de un término constante, por lo que no hay manera de que podamos decodificar este término a una prueba (en PA) de $\bot$ .

La cuestión es que la fórmula $Enc(\text{* is proof of*})$ definen una relación para cada estructura aritmética, pero sólo tiene su significado previsto cuando se aplica a las codificaciones: lo que significa que $Enc(\text{*is a proof of*})(m,n)$ expresa que $m$ es la codificación de una prueba de la fórmula codificada por $n$ sólo cuando $m$ y $n$ están codificando.

El argumento mostrado aquí debería ser fácil de adaptar a otro tipo de teorías como las que has descrito.

Espero que esto ayude.