diferencia entre

Question

En cada Moderna Álgebra libro que he leído, he visto que los grupos de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_n$ son isomorfos, pero no es igual. Entiendo la diferencia entre "isomorfo" y de "igualdad", pero en este ejemplo en particular se plantea un par de preguntas para mí.

Sé que el primer grupo se compone de cosets $k + n\mathbb{Z}$, y el segundo grupo se compone de clases de equivalencia $[k]_n$, pero no es cierto que $k + n\mathbb{Z} = [k]_n$ para cada entero $k$? (Ambos son grupos que contienen los mismos elementos de $\mathbb{Z}$.) Y si es así, entonces no podemos decir que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_n$? Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que tenemos un surjective homomorphism $h: G \to H$. La distinción, en mi mente, entre el $\Bbb Z/n\Bbb Z$ $\Bbb Z_n$ es la misma que la distinción entre el$G/\text{ker }h$$H$.

Claramente, estos son isomorfos grupos (tienen las mismas propiedades algebraicas), pero son distintos en su "estructura" (el cociente de los elementos del grupo son los elementos del juego de poder de $G$, y el homomórfica elementos de la imagen son solo conjunto de elementos (singletons) ( $H$ )). En algunas áreas de las matemáticas (tos, topología) puede ser crucial para mantener la pista de "qué nivel de construcción" en la que están.

Aquí está un ejemplo similar (de espacios vectoriales) para ilustrar la "ontológico" versus "abstracto" distinción.

El$x$ -, el eje es un (normal) subgrupo de los aditivos (además vector) grupo del plano Euclidiano. Podemos formar el coset espacio de todas las líneas horizontales, que es isomorfo a, pero seguramente no es igual a, la $y$-eje.

Como algebraicas objetos, "abstracto" la pormenores de cómo un determinado grupo nace, como hemos generalmente sólo están interesados en sus propiedades. Sin embargo, el grupo puede surgir en un contexto particular que estamos estudiando, donde su base de definición de mayo de la materia. Uno no debe, por ejemplo, confundir la clase de congruencia modulo $n$ de los enteros $k$, con el número entero $k$ sí.

Esta es la naturaleza de la algebraicas morhpsims en general-que "filtrar" la información. En cierto sentido, el cociente objeto tiene "más información para seguir la pista de" (en $\Bbb Z/5\Bbb Z$, por ejemplo, uno tiene que realizar un simple cálculo mental para resolver $7 + 5\Bbb Z$$2 + 5\Bbb Z$), mientras que la imagen homomórfica ha descartado el exceso de equipaje.

Answer 2

Consideremos otro ejemplo, y ver si podemos desentrañar lo que queremos de nuestra definición de la igualdad y la isomorfo.

El grupo de las rotaciones y reflexiones de una plaza que deje en el mismo lugar donde comenzó (a pesar de los puntos en el interior puede ser movido). El otro grupo es generado por $2$ elementos $a,b$, y sigue las relaciones: $a^4 = e$, $b^2 = e$, y $ab = ba^3$. Resulta que estos dos grupos son isomorfos - podemos identificar $b$ horizontal de la reflexión, y $a$ con rotación por $\frac{\pi} 2$.. $b$ con vertical reflexión y un con $-\frac{\pi} 2$. Además, si yo dibujo un corazón en el interior de la plaza, sé lo que significa para reflejar o girar a la que el corazón. Puedo aplicar de inmediato el grupo de operadores para el primer grupo. Pero, ¿qué significa para aplicar $a$ a que el corazón?

Veamos también un caso en el que podemos estar de acuerdo $2$ objetos son iguales. Por ejemplo, $1 + 1 = 2$. La primera frase habría hecho mucho sentido si yo hubiese escrito "estamos de acuerdo en que 1+1 objetos son iguales." (aunque lingüísticamente horrible). Las dos representaciones, $2$ vs $1 + 1$, son intercambiables en todas partes, y no hay ninguna nueva ambigüedad de usar uno u otro. Por esto, sospecho que uno no diría que los dos grupos que he mencionado anteriormente son iguales, pero todo el mundo estaría de acuerdo en que son isomorfos.

Ahora, volviendo a la pregunta de $\mathbb{Z}_n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Estamos de acuerdo en que estamos, ciertamente, isomorfo, ahora queremos decidir si son iguales. Pero primero, una nota sobre las definiciones. aquí y aquí tanto el uso de $\mathbb{Z}_n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, para las dos diferentes algebraica de los objetos! Peor aún, ambos se nota un tercer significado de la notación $\mathbb{Z}_n$: el p-adics. Por lo tanto, para decidir si son diferentes, primero tenemos que estar de acuerdo en una definición para ambos. Si utilizamos la suya, los dos primeros de estos enlaces parecen sugerir que estamos igual - pero puedo imaginar fácilmente un texto de la definición de lo finito cíclico grupos como $\mathbb{Z}_n$ y el de clases de equivalencia como $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Ahora, algunos sentances a considerar (con la definición de la opción para $\mathbb{Z}_n$):

$[0]_5$ es un principio ideal. VS $0 + 5\mathbb{Z}$ es un principio ideal. (igual que para " aditivo subgrupo de $\mathbb{Z}$', o 'la máxima ideal', etc)

$[k]_n$ es una clase de equivalencia. VS $k + n\mathbb{Z}$ es una clase de equivalencia.

$|k + n \mathbb{Z}|$ es infinito. VS $|[k]_n|$ es infinito.

$7$ es un miembro de $k + n \mathbb{Z}$. VS $7$ es un miembro de $[k]_n$

Algunas de estas me hacen un poco nervioso/incómodo - no parece como no podía ser de cierta ambigüedad entre el envío de las $[k]_n$ $k + n \mathbb{Z}$vs $-k + n \mathbb{Z}$ - como aditivo grupos, estos dos se ven bien.

Para responder a esto, más concretamente, uno tendría que saber que afirmó que los dos símbolos son diferentes, y sus definiciones de los dos grupos (en contraposición a la más memorable de las definiciones que he encontrado).

Answer 3

Podría ser que $\mathbb{Z}_n$ es el grupo multiplicativo de a $n^\text{th}$ raíces de la unidad, lo que significa que el conjunto de todos los números complejos $z$ de longitud 1 con $z^n=1$, el uso de la multiplicación como el grupo de operación . El mapa de $H: r\mapsto e^{2\pi ir}$ donde $i = \sqrt{-1}$, va desde el grupo aditivo de los números reales en el círculo unidad (como un grupo multiplicativo, con $H$ un homomorphism) con la imagen de $Z_n$ y el kernel $H^{-1}(1) = n\mathbb{Z}$ (el grupo aditivo de los enteros múltiplos de $n$), por lo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_n$ por un conocido teorema de la teoría de grupos.

Answer 4

No , yo soy lo que sugiere que Z_n es el grupo multiplicativo grupo de las raíces enésimas de la unidad, como he dicho anteriormente . Seguramente los libros que se refiere a dar una definición de Z_n . ¿Cómo pueden hablar de un grupo sin decirle de qué se elementos .Si no se toma mi definición ,es la derecha .También es importante porque se da una conexión natural entre la multiplicación y la suma de las operaciones . Usted puede hacer lo mismo con el aditivo grupo de R (números reales ) y el grupo multiplicativo de los números Reales Positivos a través de la x ---> e^x . Aquí no hay cociente grupo está involucrado y que son infinitos grupos . De nuevo en su ejemplo, Z/nZ y Z_n son grupos específicos con definiciones dadas o conocido . Por supuesto, todo esto se supone que C (el campo de los números complejos y R (números reales) se fija en todo ,por supuesto, tienen muchos diferentes construcciones para el olvido.(a veces )