En las pruebas primarias de Fermat ' s último teorema

Question

Me encontré con este uno de los muchos reclamaron primaria las pruebas de FLT. Parecía creíble, y me sentí sorprendido al ver que no dibujo mucho la atención de nadie. He investigado y he terminado de encontrar este argumento descartar cualquier tipo de riesgo para este tipo de "pruebas" de ser la correcta. Ahora, mi pregunta estará organizado en tres pasos:

• Tengo una comprensión muy básica de la "truco". Puedo obtener su lógica subyacente, pero por desgracia tengo un ridículo conocimiento de los anillos y campos, y, en particular, me sé casi nada de $p$-ádico números. Puede usted confirmar que, el razonamiento por analogía con el familiar de conjuntos de números, puedo asumir que tener una solución en $Q_p$ implicaría una contraparte en $Z_p$? Hay una manera de hacer comprensible cómo una solución de $p$-ádico enteros sería así?

• Esto es lo que me interesa más. Es posible entender, al menos en un nivel intuitivo, en el lay-persona términos, ¿cuál es la característica del anillo de familiares enteros que lo hace diferente de los otros factorial de los anillos? En otras palabras, ¿cuál es (o son) las características típicas de nuestra amada números habituales que hacen FLT presionado para ellos? En otras otras palabras, cuáles son las propiedades que han sido involucrados por la avanzada de las herramientas matemáticas utilizadas para probar FLT?

• Finalmente, si podemos detectar dicha característica, y necesariamente requiere el uso de instrumentos que Fermat no tienen, ¿no es esto una prueba definitiva de que Fermat no podía tener una prueba? ¿Por qué es a veces cuestionada? Tenía la oportunidad de realizar algo que no caen bajo la refutación de la "truco", algo que no se aplica a otros anillos como el de $p$-ádico enteros?

Answer 1

Creo que la afirmación de que el hilo es claramente exagerada. Por un lado, hay un montón de propiedades que $\mathbb{Z}$ tiene, sino $Z_p$ no tiene. Primero y principal, además de ordenar los elementos positivos, que es muy utilizado como una clave para resolver muchos diophantine ecuaciones.

Ahora considere la posibilidad de Fermat primaria de prueba de que $$x^4 + y^4 = z^4$$ no tiene soluciones para$(x,y,z) \in \mathbb{Z}$$xyz \ne 0$.

No estoy seguro de si hay o no hay una solución en $p$-ádico enteros, para algunos el primer $p$, pero si existen soluciones, es un ejemplo que muestra que la existencia de la calificación $p$-ádico soluciones no implica la existencia de clasificación entero de soluciones.

Como he indicado en los comentarios, sospecho que la mayoría de las fallidas tentativas de, al menos, en los que el solver sabe algo de la Teoría de los números y no es, obviamente, loco, incluye los pasos para la que no hay ningún análogo en $Z_p$, por lo que el $Z_p$ criterio sería inútil por la anulación de esos intentos.

Para una determinada propuesta de prueba, de una manera más común de rápidamente demostrando que no debe ser un error$\,-\,$sin llegar a precisar el error, es observar que el argumento seguiría trabajando para la ecuación de $x^2 + y^2 = z^2$ o, alternativamente, aplicar el argumento de línea por línea para la ecuación de $x^3+y^3=z^3$, y ver si la prueba al menos funciona para ese caso.

Answer 2

El último teorema de Fermat, gracias al esfuerzo de laicos, tiene el estigma de una máquina de movimiento perpetuo. Pero recordar que el mismo sello tenía un tema de meteorito...

Un matemático serio pensará seriamente antes de publicar una prueba para el caso general. Pero para entrar en el tema y llegar a una prueba elemental para el caso $n = 3$ es un calentamiento excelente para el cerebro con cero posibilidades de éxito.