Una respuesta parcial.
Escriba $$\Gamma=\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})=\langle u,v\mid u^2=v^3, u^4=1\rangle;$$ y considerar un $\Gamma$ -Módulo $(V,\pi)$ (escrito de forma aditiva por el momento). Así que por definición $$Z^1(\Gamma,V)=\{b:\Gamma\to V:b(gh)=\pi(g)b(h)+b(g),\forall g,h\in\Gamma\};$$ $$B^1(\Gamma,V)=\{b:\exists\xi\in V:\forall g\in\Gamma,b(g)=\xi-\pi(g)\xi\}.$$
Permítanme restringirme a los 1-ciclos que son cohomólogos de cero en la restricción de ambos subgrupos cíclicos (de orden 6 y 4) $\langle v\rangle$ y $\langle u\rangle$ . Esto es automático si $V$ es un $\mathbf{Z}[1/6]$ -pero este no es el caso en la configuración. De todos modos, esto proporcionará muchos 1-ciclos.
Por lo tanto, dicho cociclo $b$ es cohomólogo de un cociclo que desaparece en el subgrupo $\langle u\rangle$ y podemos escribir $b(u)=0$ , $b(v)=m-\pi(v)m$ para algunos $m\in V$ (que está determinada de forma única módulo el subespacio de $v$ -vectores invariantes); entonces $m$ determina completamente el cociclo (porque $u,v$ . A la inversa, cualquier elección de este tipo define un ciclo 1: de hecho, define una acción afín donde $u$ actos de $\xi\mapsto\pi(u)\xi$ y $v$ por $\xi\mapsto\pi(v)\xi+m-\pi(m)$ y esta última tiene orden 2, por lo que se extiende a una acción afín del producto libre $\mathrm{PSL}_2(\mathbf{Z})$ . Este 1-cíclico es un 1-cociente si esta acción tiene un punto fijo. Es decir, si existe $\xi\in V$ tal que $\pi(u)\xi=\xi$ y $\pi(v)(\xi-m)=\xi-m$ . Esto equivale a la condición $m\in V^{\pi(u)}+V^{\pi(v)}$ . Por lo tanto, este subespacio de clases de cohomología de los 1-ciclos se identifica con $V/(V^{\pi(u)}+V^{\pi(v)})$ .
Ahora vamos a especializar esto a su contexto (por lo que tenemos que cambiar a la notación multiplicativa). Tenemos $\pi(v).f(z)=f(-z^{-1})$ y $\pi(u).f(z)=f(-1-z^{-1})$ (Estoy usando la acción de la izquierda para ser coherente).
Le site $\pi(v)$ -invariantes forman, si estoy en lo cierto, el subgrupo multiplicativo generado por constantes y tipos de la forma $z+s-z^{-1}$ para $s\in\mathbf{C}$ . El $\pi(u)$ -invariantes no debe estar lejos del subgrupo generado por las constantes y cosas de la forma $(z+t)(-1/(z+1)+t)(-1-z^{-1}+t)$ para $t\in\mathbf{C}$ . No tengo una forma limpia de escribir esto... De todos modos debemos entender el subgrupo $W\subset\mathbf{C}(z)^\times$ de funciones racionales que tienen la forma $fg$ con $f$ $\pi(u)$ -invariante y $g$ $\pi(v)$ -invariante. Espero que haya en muchos sentidos razonables maneras de decir que muchas funciones racionales no son de esta forma, por ejemplo, cualquier función racional no constante que no tenga dos (ceros o polos) en el mismo $\mathrm{PSL}_2(\mathbf{Z})$ -órbita, así como sus poderes. (Supongo que el caso de $f(z)=(az+b)^n$ es más o menos el ejemplo que tenías en mente).
La otra cuestión es si la 1-cohomología es mayor, es decir, si hay 1-ciclos que sean cohomológicamente no triviales en uno de estos dos subgrupos cíclicos; no tengo ni idea.
Un poco más de inspiración. El cociente de $\mathbf{C}(z)^\times$ por $\mathbf{C}^\times$ puede ser $\mathrm{PGL}_2(\mathbf{C})$ -equivariantemente identificada con el grupo $V$ de funciones con soporte finito $\mathbb{P}^1(\mathbf{C})\to\mathbf{Z}$ con suma cero (mapa $f$ a la multiplicidad de ceros). La comprensión de la cohomología 1 de esta última es probablemente un poco más fácil, y, mejor la del grupo $W=\mathbf{Z}^{(\mathbb{P}^1(\mathbf{C}))}$ de todas las funciones con soporte finito $\mathbb{P}^1(\mathbf{C})\to\mathbf{Z}$ . De hecho, este último se divide como $\Gamma$ -como suma directa de $\mathbf{Z}^{(X)}$ donde $X$ se extiende sobre todos los $\Gamma$ -orbitas en $\mathbb{P}^1(\mathbf{C})$ . Desde $\Gamma$ está generada finitamente, obtenemos una descomposición $H^1(\Gamma,W)=\bigoplus_XH^1(\Gamma,\mathbf{Z}^{(X)})$ .
Entonces hay tres tipos de órbitas: las genéricas (libres $\mathrm{PSL}_2(\mathbf{Z})$ -y dos excepcionales, con estabilizadores de orden 4 y 6. Pero en cualquier caso el grupo de cohomología es conocido y bien entendido: ver $X$ como un gráfico de Schreier, es esencialmente un árbol y podemos identificar $H^1(\Gamma,\mathbf{Z}^{(X)})$ al conjunto de funciones localmente constantes $\partial X\to\mathbf{Z}$ , donde $\partial X$ es el límite de $X$ (que es también su espacio de extremos; éste es un conjunto de Cantor).
Aunque esto no es una descripción, debería reflejar las características esenciales del grupo de cohomología que se quiere describir. No tengo a mano un libro de texto de álgebra homológica, que debería ayudar a comparar los distintos grupos de cohomología anteriores (sólo necesitaría algo que dijera cómo $H^1$ se comporta bajo $\Gamma$ -extensiones de módulos).
