¿Esta "derivación" de la fórmula de longitud de ruta de acceso es realmente correcta?

Question

Vi esto en una conferencia de física. Todo esto supone que tenemos alguna función, $y=f(x)$.

Primero se define

$$ds = \sqrt{dx^2+dy^2},$$

donde el profesor sacó una foto y parecía ser el uso de dx y dy a significar un cambio muy pequeño en x (o y). No estoy seguro de lo que esto realmente significa. ¿Qué significa la plaza de un diferencial, o que bajo el signo de la raíz cuadrada? Pero bueno, por ahora voy a decir que es un abuso de notación, y sólo consideran pequeñas distancias.

Entonces él dice que usted puede factor a cabo un dx de debajo de la plaza-signo de la raíz de la siguiente manera:

$$ds = dx \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2}.$$

Ok, suponiendo que estamos en la interpretación de dx y dy como pequeñas longitudes, ok.

Ahora dice que interpretar la dy/dx como tomar la derivada de y con respecto a x. Qué?!? Cómo puede lo que una vez fue considerado una longitud de repente convertirse en un operador? Si dx y dy no son sólo pequeñas distancias, ¿cómo se puede hacer álgebra con diferenciales? Qué clase de magia negra es esta? Por favor alguien puede explicar qué está pasando? Gracias.

Edit: tal vez una mejor, y más en general la pregunta es esta. Si sustituimos todos los d del con $\Delta$'s y el signo de igual, con una aproximación signo, el álgebra se vuelve correcta. Por qué y cuándo, si alguna vez, ¿está bien "tomar el límite", y reemplazar un $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ con un derivado, y la aproximación de la señal con un signo igual? Porque me siento como los físicos de hacer esto mucho.

Answer 1

Lo que hizo es correcto, aunque las razones para hacerlo parece ser paliada. Te voy a dar un rigorus versión de lo que él hizo.

Deje $\Delta x > 0$, representan la longitud de algunos horizontal segmento de línea, y por ahora vamos a $y = f(x)$ donde $f$ es alguna función. (Si $y$ no es una función, simplemente se rompen en varias piezas, donde cada pieza es una función.) A continuación, definir $$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$$ Now, $\Delta x$ and $\Delta y$ are the lengths of legs of a right triangle, so we should probably talk about the hypotenuse, as well, whose length I will denote by $\Delta$ s. Ahora, por el Teorema de Pitágoras, $$(\Delta s)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = (\Delta x)^2\left[1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right]$$ (where I pulled out $(\Delta x)^2$ from both terms on the RHS). Substituting our two expression from above, $$(\Delta s)^2 = (\Delta x)^2\left[1 + \left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)^2\right]$$ $$\implies \left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)^2 = 1 + \left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)^2$$

Ahora, tome límites de ambos lados como $\Delta x \rightarrow 0$: $$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)^2 = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\left[1 + \left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)^2\right]$$ $$\implies \left(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)^2 = 1 + \left(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)^2$$ $$\implies \left(\frac{ds}{dx}\right)^2 = 1 + \left[f'(x)\right]^2 = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$$ $$\implies \left|\frac{ds}{dx}\right| = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$$ Si asumimos $s$ aumenta a medida $x$ aumenta, es decir, la longitud de la $s$ de su camino aumenta a medida que se mueve de izquierda a derecha, podemos dejar los valores absolutos: $$\frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$$ o, en forma diferenciada, $$ds = dx\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$$

Answer 2

Esto es lo que me ayudó a mantenerse a flote durante la relatividad general de clases; puede ayudar a usted también. Primera nota, que esto es siempre en el contexto de algunos (dado o arbitrarias) camino de $S$. Dicen que su camino está parametrizada por algún parámetro $t$, que el camino que va de $a$$b$$t$$0$%#%, sólo para tener algo de hormigones de abajo. A continuación, $1$ se puede traducir en $$ \frac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} $$ o, correspondientemente (usando la forma apropiada del teorema fundamental del cálculo) $$ \int_a^bds=\int_0^1\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt $$ Ahora puedes factor $ds = \sqrt{dx^2+dy^2}$ a partir de la raíz cuadrada, y aplicar la regla de la cadena para conseguir lo que han aprendido a pensar cuando veo a $\frac{dx}{dt}$, es decir, $$ \int_a^bds=\int_0^1\left|\frac{dx}{dt}\right| \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dt $ds = dx \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2}$\frac{dy}{dx}$$ which is valid as long as the path isn't vertical ($s$ is evaluated along the path, where $x$ can be a function of $\frac{dy}{dt}$ locally, as long as it's not vertical). But if the path is vertical, then you can factor out $x$ si que hace que el problema sea más fácil.

Tenga en cuenta que en la relatividad general (y quizás en otras partes de la física) de la forma $ from the square root instead, and everything works out nicely. The integral above can, of course, with simple substitution also be made into an integral over $ no es algo inaudito. Tan lejos como puedo decir que es simplemente porque no quieren molestarse con el signo de la raíz cuadrada al escribir fórmulas. Usted todavía definitivamente tiene que poner la raíz cuadrada de nuevo en la expresión antes de cualquier cálculo que se puede hacer.

Answer 3

Como físico, me puede explicar, y también me gustaría añadir que aunque los matemáticos parecen ir las tuercas sobre esta materia, abusando de la notación y de trabajo formal con cantidades en un camino que se basa en la intuición, es muy útil para un físico. Todos debemos estar agradecidos de que no todo el mundo está paralizado por el rigor-mortis porque el descubrimiento científico de los beneficios de este material.

Un matemático diría que para los parámetros de la curva de $\gamma(t) = (x(t), y(t))$, la longitud de arco a lo largo de la curva entre los valores de parámetro de $t_a$ $t_b$ es

$$ \int_{t_a}^{t_b} |\dot\gamma(t)|\, dt = \int_{t_a}^{t_b} \sqrt{\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2}\, dt $$

Me gustaría decir en este punto, sin embargo, que esta definición está motivado por el hecho de pensar acerca de pedacitos de tiempo $dt$ y el hecho de que $|\dot\gamma(t)|$ es la velocidad a la hora de $t$, y para los pequeños trozos de tiempo, la velocidad de veces que el tiempo les dará un poco de la línea recta de la pieza de la distancia recorrida. En otras palabras, no es un muy buen físico motivación para esta definición. Por otro lado, supongamos que existe una parametrización de la curva con la que puede ser descrito como

$$ \alpha(s) = (s, y(s)). $$

A continuación, desde la $x$-coordinar la función es simplemente la identidad, bien podríamos llamar a este parámetro $x$ (es una variable ficticia de todos modos), en cuyo caso obtenemos

$$ \alpha(x) = (x,y(x)). $$

Enchufe ahora esta en el original de la longitud del arco de definición para obtener

$$ \int_{x_a}^{x_b} |\alpha'(x)|dx = \int_{x_a}^{x_b}\sqrt{1 + y'(x)^2}\, dx $$

Que es precisamente la fórmula escrita por el físico.

Comentario sobre la Edición. El tratamiento de los derivados como los diferentes cocientes de pequeñas cantidades a menudo funciona porque, bueno, que realmente es lo que un derivado que está haciendo. Mira la definición de la derivada como un límite de un cociente de la diferencia. Si $\Delta x$ es pequeño, entonces la sustitución de los derivados por la diferencia cociente no incurren en un gran error, por lo que no siempre es una mala manera de ver las cosas. Ese proceso debe, por supuesto, ser tomado con un grano grande de sal, cuando quieres limpiar todo lo que, matemáticamente, en el final, pero no hay uso de atar sus manos y no pensar en estas cosas de forma intuitiva, sobre todo al principio.

Yo disfrutar y apreciar el rigor tanto como la persona siguiente, pero también he aprendido a apreciar que trabajar libremente con las matemáticas de las cantidades a menudo puede conducir a una gran intuición y perspicacia. Tomemos, por ejemplo, la ruta de las integrales en la física. Nadie sabe realmente cómo definir estas bestias precisamente de una forma en que podría satisfacer un matemático (especialmente en la teoría cuántica de campos), pero sin embargo físico formal de manipulaciones han llevado a algunos de los más predijo con exactitud de las mediciones en la historia humana.

Answer 4

su profesor es, probablemente, no en el sentido de dx y dy a ser pequeños números. Probablemente estaba diciendo que como menor de edad justificación de cómo se configure la ecuación original.

No tengo la completa capacidad de demostrar lo que su profesor hizo fue válido. Después de todo, estoy dispuesto a asumir que su primera ecuación es válida. Como muchas de las respuestas señalan, que es su "definición" de longitud de arco. Por supuesto, uno puede ir más profundo y de alguna manera demostrar que es la longitud del arco, pero seamos sinceros. Longitud de arco es un término definido. Tenemos que aceptar que como el punto de partida.

Partiendo de que; sin embargo, creo que puedo aclarar lo que su profesor estaba tratando de hacer en un matemático manera con mis propias palabras.

Proposición: Para cada par de bienes función con valores de $f$$g$, existen diferencial functors $Pf$ $Pg$ tal que $\frac {Pf}{Pg} = D_g(f)$, $f \cdot Pg = \int (f) dg$, y $\frac {Pf}{Pf} = 1$

Lo que esto hace es establecer que el handwavy de matemáticas que el profesor hizo fue válido. Cosas como "dx" (en mis ojos) no son ni las funciones ni los números. Ellos son otra cosa. No sé qué les llame, pero el álgebra de ellos parece funcionar bien.

Pensar de esta manera. El profesor no está haciendo álgebra de números o un álgebra de funciones. Él está haciendo una manipulación algebraica de algo más, y yo no escribirlo como basura. Todos los que el profesor realmente necesita hacer es exponer qué tipo de objetos son estas cosas. Son los elementos de una función de espacio? Son infinitesimalmente pequeño de los números? Son algún tipo de número-operador híbrido (nunca había oído hablar de tal cosa, pero la física de la gente es extraña)?

Honestamente, el único que puede responder a esta pregunta es su profesor. Sólo decirle al profesor que reconocer que dx y dy no son números ni las funciones ni los operadores y que desea saber lo que son. Si solo dice "son números", entonces usted tiene su respuesta. Él es, sin duda, haciendo algunos no rigurosas cosas y cachondeo en matemáticas (pero es la física, de modo que no debería ser un problema).

Las ocasiones son, te apuntan en la dirección de alguna otra construcción matemática y vas a aprender algo nuevo. O tal vez sólo voy a decir que cómo lo aprendió y fue simplemente por tratar de "justificar" la definición.

Para responder a tu pregunta en la edición, creo que realmente, como he dicho. Usted puede escribir cualquier ecuación que se desea y dicen que son los objetos que he establecido. La cuestión es si es o no está bien definido. No veo ninguna razón por la que no se producen. Lo peor es que se puede conseguir algo que no sea ni integral ni un derivado y en esa situación yo diría que la ecuación es simplemente desconocido en el significado y no solo indefinido.