Aproximación de $\int_1^{10}x^x\mathrm dx$ para dentro de 5% de error relativo

Question

Estoy trabajando en un par de problemas de Arnold trivium porque me odio a mí mismo.

Mi primera y única idea es tratar y se aproxima a este por las sumas de Riemann, pero evidentemente, esto es un asco. Para sobreestimar (a la derecha suma de Riemann de la función creciente) de $3$ puntos que hemos $$ \sum_{n=1}^3 f(1+3n)\frac{1}{3}=\frac{1}{3}(4^4+7^7+10^{10})\aprox 10^{9} $$ Que tuve que usar una calculadora para calcular (sorta derrotar el punto del ejercicio, supongo) tiene el error relativo del 8%.

Hay una forma más inteligente y menos dolorosa manera de hacer esto de golpear fuera de mala muerte de Riemann o trapezoidal aproximaciones o algo por el estilo?

Answer 1

La respuesta puede encontrarse en el documento : https://fr.scribd.com/doc/34977341/Sophomore-s-Dream-Function

Un asintótica de expansión de los llamados estudiantes de Segundo año de Ensueño función $$\text{Sphd}(\alpha;x)=\int_0^{x}t^{\alpha t} dt$$ es dada en la sección 6 , págs. 6-7.

Para llegar a la precisión especificada, no es necesario el uso de muchos términos de la serie. Sólo el primer término es suficiente. De hecho, este es el equivalente de un gran $x$ página 9 de Eq.(9:2) : $$\text{Sphd}(\alpha;x)\sim \frac{x^{\alpha x}}{\alpha(1+\ln(x))}$$

En el presente caso, con $\alpha=1$ : $$\int_1^{10}x^x dx=\text{Sphd}(1;10)-\text{Sphd}(1;1)\simeq \frac{10^{10}}{1+\ln(10)}\simeq 3.027931\times 10^9$$

De Eq.(8:1)$\quad \text{Sphd}(1;1)\simeq 0.783430\quad$ es insignificante.

Uno puede comparar con el resultado del cálculo numérico : $\quad \int_1^{10}x^x dx\simeq 3.057489\times 10^9\quad$ Los anteriores aproximado conduce a un error relativo menor que 1%.

Answer 2

Considerar $$\int{x^xdx} = \int{e^{x\log (x)}dx} = \int{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k\log^k (x)}{k!}}\,dx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac 1{k!}\int {x^k\log^k (x)}\,dx$$Now $% $ $\int {x^k\log^k (x)}\,dx=-\log ^{k+1}(x) (-(k+1) \log (x))^{-k-1}\,\Gamma (k+1,-(k+1) \log (x))$donde aparece la función gamma incompleta.

Con los límites, la siguiente tabla reproduce los resultados Resumen de $k=0$ a $k=n$ $$ \left (\begin{array}{cc} n &\sum_{k=1}^{n} \\ 10 & 1.34986\times 10^7 \\ 15 & 2.49883\times 10^8 \\ 20 & 1.186883\times 10^9 \\ 25 & 2.35791\times 10^9 \\ 30 & 2.92299\times 10^9 \\ 35 & 3.04399\times 10^9 \\ 40 & 3.05675\times 10^9 \\ 45 & 3.05747\times 10^9 \\ 50 & 3.05749\times 10^9 \end{matriz} \right)$$ que es la solución para seis cifras significativas.