Tratando de arrojar luz adicional por medio de un ejemplo que implica una deducción más típica donde la presencia/ausencia de divisores cero juega un papel. Imaginemos que tenemos que resolver la ecuación $$x^2-x=0.$$ Antes de poder avanzar en esto, necesitamos saber un poco más. ¿Qué tipo de objeto es $x$ ? ¿Es un número (real/complejo/racional)? ¿Es una matriz? ¿Es un elemento de algún otro universo, donde la ecuación tiene sentido? Un par de cosas son seguras. Cualquiera que sea $x$ es, necesitamos la capacidad de multiplicarlo por sí mismo (de lo contrario $x^2$ no existe) así como restarlo de su cuadrado. Además, este universo debe tener un objeto llamado cero. Supongamos que el universo es al menos un anillo, porque entonces tenemos disponibles todas las operaciones anteriores. En un anillo tenemos una unidad (un elemento neutro para la multiplicación, " $1$ ") y la ley distributiva. Esto nos permite reescribir la ecuación como $$ 0=x^2-x=x^2-1\cdot x=(x-1)x. $$ Bueno, ¿eso ayuda? Depende. Si $x$ es un elemento de cualquiera de los sistemas numéricos de nivel escolar, sabemos que el sistema no tiene divisor cero. Esto significa que si $ab=0$ en un sistema de este tipo, podemos deducir que, o bien $a=0$ o $b=0$ . Si nuestro $x$ proviene de un sistema de este tipo, podemos avanzar rápidamente con nuestra ecuación y concluir que, o bien $$ x-1=0\qquad\text{or}\qquad x=0. $$ Esto nos dice que, o bien $x=1$ o $x=0$ (aplicaciones estándar de los axiomas de los anillos).
Así que hemos resuelto completamente la ecuación SIEMPRE y cuando $x$ reside en un anillo que no tiene divisores cero. Esto no es más que una abstracción de las técnicas que aprendimos en la escuela, pero allí no se suele prestar atención al concepto de divisor cero, a pesar de que desempeñó un papel fundamental. Todo esto está bien, porque llamar la atención sobre el concepto de divisor cero plantea la pregunta: "¿Existen sistemas significativos con divisores cero?"
Supongamos a continuación que $x$ es un elemento del anillo de clase de residuos $\mathbb{Z}_6$ . No obstante, los estudiantes pueden querer utilizar la técnica anterior. Pero algún avispado se dará cuenta de que $x=\overline{3}$ también es una solución, ya que $x^2=\overline{9}=\overline{3}$ . ¿Qué había de malo en el enfoque anterior? Vamos a comprobarlo: $$ (x-1)x=\overline{(3-1)}\cdot\overline{3}=\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}=0. $$ En este anillo un producto puede ser cero sin que ninguno de los dos factores lo sea. Pero la necesidad de resolver nuestra ecuación sigue ahí. Si no podemos utilizar el truco conocido, ¿qué podemos hacer? ¿Fórmula cuadrática? Eso requiere saber calcular raíces cuadradas y saber dividir por dos. Sin entrar en detalles, sólo diré que ambas cosas son sospechosas en anillos más generales. Además, la ausencia de divisores cero está oculta en la derivación de la fórmula cuadrática. ¿Y qué? Afortunadamente este anillo es finito, así que podemos salirnos con la nuestra simplemente probando todos los valores posibles de $x$ . Esta comprobación revela que la clase de residuo $x=\overline{4}$ también es una solución.
Pero la cosa se pone peor. Si $x$ es un $2\times2$ con entradas reales, entonces además de las soluciones "obvias" $$ x=\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right),\qquad\text{and}\qquad x=\left(\begin{array}{rr}0&0\\0&0\end{array}\right) $$ también tenemos soluciones como $$ x=\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&0\end{array}\right),\qquad\text{and}\qquad x=\left(\begin{array}{rr}0&0\\0&1\end{array}\right).$$ Y eso no es todo. Le invito a comprobar que la matriz $$ x=\left(\begin{array}{cc}\cos^2\alpha&-\cos\alpha\sin\alpha\\-\cos\alpha\sin\alpha&\sin^2\alpha\end{array}\right) $$ es una solución de la ecuación $x^2-x=0$ para todos los valores del ángulo $\alpha$ .
Así que la principal "motivación" para estudiar el concepto de divisores cero es, como ha señalado André, saber cuándo están ausentes. Una tarea sencilla puede convertirse en algo angustioso, si no conocemos la posibilidad de los divisores cero.
Más arriba vimos que una ecuación cuadrática puede tener cuatro o infinitas soluciones, si el anillo tiene divisores cero. Con un poco de trabajo extra podemos demostrar el conocido resultado de que un grado $n$ en un anillo conmutativo sin divisores cero tiene como máximo $n$ soluciones. La razón para añadir el supuesto de conmutatividad es un poco sutil, y no voy a entrar en ello. Si he conseguido despertar tu curiosidad al respecto, te aconsejo que eches un vistazo a esta pregunta para un ejemplo de ecuación cuadrática con infinitas soluciones en un anillo no conmutativo sin divisores cero. También recomiendo la respuesta de Arturo Magidin, pero requiere cierta familiaridad con los conceptos de los anillos.
