¿Un agujero en la distribución de valores propios - es este real?

Question

Parcela de los autovalores de muchos a $n\times n$ real de las matrices en el plano complejo, donde las matrices son de una cierta distribución. Para $n>7$, usted puede comenzar a ver un agujero en el origen a partir de la forma. De Girko Circular de la Ley que yo esperaría que la distribución tiende hacia un disco sólido, (sin agujeros). A continuación, el autovalor de las distribuciones de $10\times 10$ matrices tomadas de tres distribuciones son vistos, todos con agujeros en ellos. El mayor $n$ es, el más grande el agujero. Las distribuciones son:

1. Todas las entradas de todos los elementos de las matrices se $\mathcal{N}(0,1)$
2. Todas las entradas de todos los elementos de las matrices se $\mathcal{U}(0,1)$
3. Las matrices son recogidos de manera uniforme sobre el volumen de una unidad de $n^2$-ball.

Es esto real (y no un error en mi código)? Si es así, ¿qué es este fenómeno se llama?

Esto parece violar Girko Circular de la Ley, entonces, ¿qué me estoy perdiendo?

Edit: Aquí está mi Matlab-código para la generación de estos (sin el diagrama de dispersión):

n = 10;
X = zeros(10^5,1);
Y = zeros(10^5,1);

for i = 1:10^5
    B = randn(n);
    C = eig(B);
    j = 1+4*(i-1);
    X(j:j+n-1) = real(C);
    Y(j:j+n-1) = imag(C);
end

He quizá algún estúpido error?

2ª edición: Aquí es un gráfico con el código corregido, como se pide:

Answer 1

Como digo, el problema está en cómo estás agregando los valores propios en X y Y . j es incrementar en $4$ cuando debería ser incrementar en $n = 10$, que tiene el efecto de borrar el menor $6$ valores propios de cada matriz, por lo tanto el agujero. Hay una manera más fácil de hacer la agregación que no implica un j a todos:

N = 10^4;
n = 10;
X = [];
Y = [];

for i = 1:N
    A = randn(n);
    E = eig(A);
    X = [X; real(E)];
    Y = [Y; imag(E)];
end

scatter(X, Y);

Answer 2

Sus parcelas al instante me recordó algo que había visto antes (haga clic para una versión en alta resolución):

Resulta que si tu matrices tienen entero entradas fijas de altura, se obtiene agujeros, con los detalles dependiendo de la distribución. Lo que es más, hay todo tipo de interesantes y, a mi conocimiento, de preguntas sin resolver acerca de esto! Más detalles aquí.

Dado que el real matrices se puede aproximar por racional, y limita la altura racionales puede ser multiplicada por un suficiente factor importante para dar delimitada altura enteros, no me sorprendería si había algún tipo de conexión con el patrón que vi, incluso si sólo era visible debido a un error.

Answer 3

Porque va a sobrescribir algunos de los valores propios mediante el desplazamiento de 4 en lugar de 10, que son preferentemente de sobrescribir el más pequeño de los autovalores. Esto es confirmado en este ASÍ que la respuesta seleccionada, la cual establece, para el algoritmo de Matlab:

Los valores TIENDEN a estar en orden descendente, pero esto no es seguro en absoluto. Tienden a estar en orden, porque los más grandes tienden a derramar del algoritmo en la parte superior. Eig no tiene ningún tipo en el fin de asegurarse de que hecho.

Así que, aunque no es propósito ordenados en orden descendente, el algoritmo tiene este efecto.