Un nuevo e interesante patrón para $i\uparrow\uparrow n$ que se ve bien (y $z\uparrow\uparrow x$ para $z\in\mathbb C,x\in\mathbb R$ )

Question

Muchos de ustedes recordarán " Un patrón obvio para $i\uparrow\uparrow n$ que se nos escapa a todos? ", una vieja pregunta mía, y hace poco, vi esta nueva pregunta que plantea una simple extensión a la tetración en valores no enteros:

$$a\uparrow\uparrow b=\begin{cases}a^b,&b\in[0,1]\\a^{a\uparrow\uparrow(b-1)},&b\in(1,+\infty)\\\log_a(a\uparrow\uparrow(b+1)),&b\in(-\infty,0)\end{cases}$$

Combinando esto con mi antigua pregunta, hice el siguiente gráfico de $i\uparrow\uparrow x$ para $x\in(-2,9)$ , utilizando $z=re^{i\theta},\theta\in[0,2\pi)$ :

(el eje x es el eje real y el eje y es el eje imaginario)

¿Hay que decir algo especial sobre esto?

Sobre cómo cada mirada siempre conecta con la "rama" anterior y luego se sale de la rama hasta llegar a la siguiente. ¿Podemos demostrar que esto es así?

Demuestra o refuta que la recta tangente en cada intercepción es equivalente para la rama original y la rama que sale que se dirige al centro.

También parece que las ramas se conectan perpendicularmente.

¿Son estas formas similares entre sí?

El patrón es bastante intrigante, ¿no crees?

---

Parece que $(-1)\uparrow\uparrow x$ también es interesante de ver:

Enlace al gráfico.

Empieza como uno podría esperar que empezara:

Hace un bucle:

Luego otro bucle:

Y luego se infla en una forma circular que llega a unas 35 unidades de distancia del origen:

Imagen más cercana:

Y luego sigue más allá $10^{30}$ :

Imagen más cercana:

Zoom medio:

Otro bucle:

Alguna explicación de por qué esto es mucho más "caótico" que $i\uparrow\uparrow x$ ? Tal vez podamos definir lo que es caótico o no como sigue:

\begin{align}\lim_{x\to\infty}a\uparrow\uparrow x\ \text{converges}\implies\text{stable/non-chaotic}\end{align}

\begin{align}\lim_{x\to\infty}a\uparrow\uparrow x\ \text{diverges}\implies\text{unstable/chaotic}\end{align}

Una vez más vemos conexiones aparentemente perpendiculares, aunque trivialmente todas en $(-1,0)$ .

Sin embargo, hay nuevos patrones. Tenemos casi cardioides, pero no del todo. También vimos dos formas interesantes que parecen bucles. ¿Alguna idea de lo que son? Parece que estos bucles se hacen muy largos y forman los casi cardioides.

¿Es cierto que estos bucles siempre se conectan de nuevo a $(-1,0)$ desde la misma dirección de la que vinieron?

¿Y hay un patrón de 4 vueltas? La primera línea que conecta con $(-1,0)$ vino de arriba, la segunda línea que conecta con $(-1,0)$ vino de la derecha, el tercero vino de abajo, el cuarto de la izquierda, y si seguimos graficando más de estos, el quinto viene de arriba una vez más.

---

¿Podemos hacer un análisis de estas diferentes formas? Mi calculadora gráfica no es la mejor, y tengo que hacerlas una por una... En particular, ¿qué podemos decir sobre $z\uparrow\uparrow x$ para $|z|=1$ y $x\in\mathbb R$ ?

---

Después de unos cuantos gráficos, he llegado a la siguiente conclusión

Cuando $|z|=1,\operatorname{arg}(z)=\theta\in(-,\pi]$ entonces $\lim\limits_{x\to\infty}z\uparrow\uparrow x$ tiende a existir para $\theta<\theta_0$ y diverge para $\theta>\theta_0$ . ¿Qué es esto? $\theta_0$ ? ¿Y es correcta mi conclusión?

También parece que puede estar lejos de ser trivial probar las líneas en $i\uparrow\uparrow x$ realmente se conectan. Aunque están cerca, he descubierto que $\sqrt i\uparrow\uparrow x$ claramente no conecta :

Este es el gráfico general . Parece que $\theta_0=\pi/2$ .

Answer 1

$i\uparrow\uparrow t$

Configurar

Todos los patrones relevantes aquí parecen implicar sólo entradas no negativas, así que define $f:[0,\infty)\to \mathbb C$ por $f\left(t\right)=\begin{cases}i^{t} & \text{ if }t\in[0,1)\\i^{f\left(t-1\right)} & \text{ if }t>1\end{cases}$ . Para tener una idea del gráfico de $f$ podemos utilizar diferentes colores para $[0,1)$ , $[1,2)$ ,...

Gráfico

Este es un gráfico de $f(t)$ para $t\in[0,9)$ :

Comienza en $1$ y luego sigue un cuarto de círculo índigo hasta $i$ , y luego una especie de naranja vertical sigmoide a $e^-\pi/2$ y luego una sigmoidea verde hacia lo que parece ser un punto en el cuarto de círculo inicial, y una espiral hacia el interior con colores como el rojo, el púrpura, el marrón, el azul, el amarillo y luego el rosa.

Para que sea más fácil de notar, se establece $p=\dfrac{\pi}{2}$ y $g\left(t\right)=i^{t}=\left(e^{ip}\right)^{t}=e^{ipt}=\exp\left(ipt\right)$ . Esto hace que $f\left(t\right)=\begin{cases}g\left(t\right) & \text{ if }t\in[0,1)\\g\left(f\left(t-1\right)\right) & \text{ if }t>1\end{cases}$ .

¿Se conectan realmente? Sí

Tenga en cuenta que $f$ es continua (es decir, el gráfico es conexo) ya que $1=g\left(0\right)$ . Por ejemplo, $f\left(2\right)=g\left(g\left(g\left(2-2\right)\right)\right)=g\left(g\left(2-1\right)\right)={\displaystyle \lim_{t\to2^{-}}}f\left(t\right)$ . Por lo tanto, no hay interrupciones en el gráfico en $i$ , $e^{-p}$ etc.

Hay otra secuencia de conexiones aparentes "en el medio", siendo la primera donde el tercer arco (verde) se encuentra con el cuarto de círculo original (índigo) en $\exp\left(ipe^{-p}\right)$ . En el caso de este último, hay que tener en cuenta que $f\left(e^{-p}\right)=g\left(e^{-p}\right)=g\left(g\left(i\right)\right)=g\left(g\left(f\left(1\right)\right)\right)=f\left(3\right)$ . Los otros son simplemente el resultado de aplicar $g$ a ambos lados: Por ejemplo, ya que $f\left(3-\varepsilon\right)\approx f\left(e^{-p}\right)$ y hay una intersección alrededor de $f\left(4-\varepsilon\right)=g\left(f\left(3-\varepsilon\right)\right)\approx g\left(f\left(e^{-p}\right)\right)=f\left(1+e^{-p}\right)$ también, etc.

"las ramas se conectan perpendicularmente" Verdadero.

Ahora demostraremos que las intersecciones del diagrama que parecen perpendiculares realmente lo son. Para empezar, veamos dos en particular.

Intersección en $i$

En $\left[0,1\right]$ tenemos $f\left(t\right)=g\left(t\right)$ que dibuja un cuarto de círculo en el plano complejo, y es horizontal en $i$ ( $t=1$ ). En $\left[1,2\right]$ tenemos $f\left(t\right)=g\left(g\left(t-1\right)\right)$ . Tomando la derivada de esto y evaluando en $t=1$ (para tomar el límite de la derivada de $f$ como $t$ se acerca a $1$ de arriba), obtenemos $\boxed{-ip^{2}}$ Así que $f$ se mueve verticalmente para $t$ justo por encima de $1$ . Como la vertical es perpendicular a la horizontal, tenemos un ángulo recto en $i$ .

Intersección en $\exp\left(ipe^{-p}\right)$

Tenga en cuenta que $f\left(e^{-p}\right)=g\left(e^{-p}\right)=g\left(g\left(i\right)\right)=g\left(g\left(f\left(1\right)\right)\right)=f\left(3\right)$ . La derivada de $g\left(g\left(g\left(t-2\right)\right)\right)$ como $t$ se acerca a $3$ es $p^{3}e^{-p}\sin\left(p\left(1+e^{-p}\right)\right)-i\left(p^{3}e^{-p}\cos\left(p\left(1+e^{-p}\right)\right)\right)$ . Desde $\cos\left(p+x\right)=-\sin x$ y $\sin\left(p+x\right)=\cos x$ esto se simplifica a $\boxed{p^{3}e^{-p}\left(\cos\left(pe^{-p}\right)+i\sin\left(pe^{-p}\right)\right)}$ .

Y la derivada de $f\left(t\right)=g\left(t\right)$ en $t=e^{-p}$ es $-p\sin\left(pe^{-p}\right)+i\left(p\cos\left(pe^{-p}\right)\right)=\boxed{p\left(-\sin\left(pe^{-p}\right)+i\cos\left(pe^{-p}\right)\right)}$ .

Estos dos números complejos son perpendiculares como vectores, por lo que también es un ángulo recto.

Las otras intersecciones

Para obtener todas las demás intersecciones, tenga en cuenta que $g\left(t\right)$ tiene una derivada compleja de $ipe^{ipt}\ne0$ Así que es conformal (véase, por ejemplo, esta pregunta de MSE ), lo que significa que $g$ preserva los ángulos locales en el diagrama. Debido a la definición recursiva de $f$ Esto significa que las dos intersecciones consideradas anteriormente se propagan a lo largo del diagrama. Por ejemplo, como hay una intersección perpendicular alrededor de $f\left(3-\varepsilon\right)\approx f\left(e^{-p}\right)$ , hay una intersección perpendicular alrededor de $f\left(4-\varepsilon\right)\approx f\left(1+e^{-p}\right)$ .

"¿Son estas formas similares entre sí?" No.

No estoy seguro de cómo interpretar esta pregunta, pero todo lo que se me ocurre tiene la respuesta "no". Por ejemplo, la primera parte de la gráfica de f es un cuarto de círculo, pero la cuarta parte (roja) ciertamente no lo es.

---

$z\uparrow\uparrow t$

Creo que estas preguntas sobre $z\uparrow\uparrow t$ que se añadieron significativamente después de la publicación original, merecen su propia pregunta de StackExchange sobre las matemáticas. Dicho esto, aquí hay algunas observaciones que son un poco demasiado largas para un comentario.

Cuando $|z|=1$ , $\theta_0=\pi/2$ ? Probablemente.

Supongamos que empezamos con $g\left(t\right)=\exp\left(i\theta t\right)$ en lugar de $g\left(t\right)=\exp\left(i\frac{\pi}{2}t\right)$ ? Entonces $f\left(3\right)=g\left(g\left(g\left(1\right)\right)\right)$ está en $\exp\left(i\theta e^{i\theta e^{i\theta}}\right)$ $=\exp\left(i\theta e^{i\theta\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)}\right)$ $=\exp\left(i\theta e^{i\theta\cos\theta-\theta\sin\theta}\right)$ $=\exp\left(i\theta e^{-\theta\sin\theta}e^{i\theta\cos\theta}\right)$ $=\exp\left(i\theta e^{-\theta\sin\theta}\left(\cos\left(\theta\cos\theta\right)+i\sin\left(\theta\cos\theta\right)\right)\right)$ $=\exp\left(\theta e^{-\theta\sin\theta}\left(i\cos\left(\theta\cos\theta\right)-\sin\left(\theta\cos\theta\right)\right)\right)$ . Así que en valor absoluto, esto es $\exp\left(-\theta e^{-\theta\sin\theta}\sin\left(\theta\cos\theta\right)\right)$ . Para determinar si $f\left(3\right)$ está en el disco de la unidad, tenemos que comprobar que $h\left(\theta\right)=-\theta e^{-\theta\sin\theta}\sin\left(\theta\cos\theta\right)\le0$ . Ciertamente $h\left(0\right)=h\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ y $h$ es negativo en el medio, por lo que cuando $\theta$ es ligeramente superior a $\frac{\pi}{2}$ , $f\left(3\right)$ sale del disco de la unidad. El siguiente cero más grande de $h$ está en $\frac{3\pi}{2}$ (y hay otro en aproximadamente $5.34$ ).

Sin embargo, un análisis similar muestra que $f\left(2\right)$ deja el disco de la unidad para $\theta\in\left(\pi,2\pi\right)$ (el correspondiente $h\left(\theta\right)$ es sólo $-\theta\sin\theta$ ). Por lo tanto, $f\left(2\right)$ y $f\left(3\right)$ están ambos en el disco unitario (considerando $\theta\in[0,2\pi)$ ) sólo para $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ .

Yo consideraría que esta evidencia sugiere que ese sería el "rango estable". Si estuviera interesado en $\theta\in\left[-\pi,\pi\right]$ en su lugar, observe que ambos $h$ son incluso las funciones y así obtenemos un "rango estable" conjeturado de $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ que parece estar de acuerdo con el experimento numérico.

Answer 2

Esto no es una respuesta a la pregunta, sino un programa para jugar.

Como dije en un comentario más arriba, hice un programa en el que se pueden probar diferentes valores para la tetración compleja.

La parte importante del programa es:

Private Function tetration(a As Complex, b As Double) As Complex
    If b > 1 Then
        Return Complex.Pow(a, tetration(a, b - 1))
    ElseIf b < 0 Then
        Return Complex.Log(tetration(a, b + 1)) / Complex.Log(a)
    Else
        Return Complex.Pow(a, b)
    End If
End Function

Las otras partes son importantes para la interfaz gráfica de usuario y otras cosas, pero no las explicaré con más detalle.

Puede descargar mi programa aquí: https://www.mediafire.com/?w39h6ahd0ppjl53

EDIT: He corregido un error. Ahora ya no debería chocar: http://www.mediafire.com/file/vwoirrp6lmqtcpc/ComplexTetration2.exe

Se chasquea si los números son demasiado rápidos, pero aún no he encontrado la manera de evitarlo, así que existe el riesgo de chasquear el programa, tenlo en cuenta.

Si quieres echar un vistazo al código fuente, intentaré compartirlo también (pero no te lo recomiendo, ya que es más que lioso).

Aquí hay algunos gráficos interesantes para su función: (el rojo es el inicio, el azul es el final)

$$z = 1 + 2i$$ $$t \in [0, 5]$$

$$z = 1 + 2i$$ $$t \in [0, 30]$$

Esto parece orbitar alrededor, pero no se acerca a un punto fijo, según mis experimentos.

$$z = 1.5 i$$ $$t \in [0, 50]$$

Esto parece acercarse a un punto fijo.

$$z = -0.5 + 0.1 i$$ $$t \in [0, 10]$$

Esto se ve caótico y chocó mi programa a través de los enormes números que escupió.

---

Un experimento sobre la estabilidad de $z ↑ ↑ t$

Me picó la curiosidad y quise saber cuándo su función es estable y cuándo va violentamente a todas partes.

Pero no sabía cómo probar este comportamiento correctamente.

Así que simplemente llamé a la trama desordenada, si $|z ↑ ↑ t|$ supera un valor límite llamado $\text{Max}$ .

Ahora probé un conjunto gigante de puntos para $z$ y coloreaba un píxel de blanco si la trama no estaba desordenada, y lo hacía de colores, dependiendo del tiempo que tardara en desordenarse y.

El cálculo ha durado 55 minutos, pero el resultado es un fractal bastante chulo.

Por supuesto, esto sólo da una idea de cómo debería ser la imagen real - Esto es sólo una aproximación y fui con una condición muy simple para determinar si una trama es caótica. Esto podría excluir algunos puntos que son realmente estables y podría incluir algunos puntos que son realmente desordenados.

La ventana de visualización es $-5$ a $5$ en ambos ejes.

$$t \in [0, 100]$$

$$\Delta t = 0.01$$

$$\text{Max} = 100$$

Creo que es una foto muy bonita. La estructura fractal tiene sentido, porque la tetración se definió de forma recurrente - en cierto modo, se trata de una iteración. Algunas de las estructuras se parecen al fractal generado por el método de Newton para $e^x + 1$ .

Código: Para cada punto se realizan los siguientes cálculos:

            For y1 = 0 To 1 / xStep
                x1 = y1 * xStep
                z2 = Complex.Pow(z1, x1)
                i = 1
                While i < xRangeUpper
                    z2 = Complex.Pow(z1, z2)
                    i += 1
                    If Complex.Abs(z2) > MAX Or Double.IsNaN(Complex.Abs(z2)) = True Then
                        Exit While
                    End If
                End While
                If Complex.Abs(z2) > MAX Or Double.IsNaN(Complex.Abs(z2)) = True Then
                    Exit For
                End If
            Next

            If Complex.Abs(z2) > MAX Or Double.IsNaN(Complex.Abs(z2)) = True Then
                BMP.SetPixel(x, y, myOwnColor(i)) 'messy
            Else
                BMP.SetPixel(x, y, Color.White)   'not messy
            End If

Si quieres jugar con todos los valores, puedes descargarlo aquí: http://www.mediafire.com/file/bjn9pwnvfdcu9qf/TetrationFractal.exe

Se puede hacer zoom con el desplazamiento, y al hacer clic en un punto se centra la ventana de visualización alrededor de ese punto.

Answer 3

Tú lo pides:

Cuando $|z|=1,\operatorname{arg}(z)=\theta\in(-,\pi]$ entonces $\lim\limits_{x\to\infty}z\uparrow\uparrow x$ tiende a existir para $\theta<\theta_0$ y diverge para $\theta>\theta_0$ . ¿Qué es esto? $\theta_0$ ? ¿Y es correcta mi conclusión?

Para la cuestión de los puntos fijos de la iteración de $x \to z^x$ la observación es relevante que podemos introducir las variables $t$ y $u=\log(t)$ escribir $z=t^{1/t}$ y $z=\exp(u \cdot \exp(-u))$
Para ello tenemos una prueba de D. Shell & W. Thron de que

• para $|u|<1$ la iteración converge al punto fijo $t$ ,
• para $|u|>1$ la iteración diverge, y
• para $|u|=1$ converge o diverge dependiendo del carácter algebraico de $\arg(u)/\pi$

$\qquad $ _{Nota 1: Para el segundo caso "divergencia" también puede significar: convergencia a un conjunto de puntos periódicos (heurísticamente).}
$\qquad $ _{Nota 2: hay al menos una discusión más antigua sobre esa propiedad de <span class="math-container">$|u|$</span> aquí en MSE; puedo añadir el enlace cuando lo haya encontrado}

Ahora, si por otro lado tenemos por su demanda $|z|=1$ y por lo tanto $z=\exp(î \theta)$ entonces tenemos $\log(z) = u \exp(-u) = î \theta$ .
Hay una buena fórmula que utiliza la función LambertW para encontrar $u$ de $\log(z)$ tal que tenemos $$ u = - \text{LambertW}(- \log(z)) \\ = - \text{LambertW}(- î \theta) $$ Si definimos una función $$f(\theta) =|u| = | - \text{LambertW}(- î \theta) | \qquad \qquad \text {for } 0 \le \theta \le 2 \pi $$ entonces encontramos una curva monótona creciente:
Muestra que sólo hay un punto en el que $f(\theta_0)=|u|=1$ y más pequeños $\theta$ conducen a una menor $|u|$ y por lo tanto la convergencia en la iteración, y mayor $\theta$ conducen a una mayor $|u|$ y, por tanto, a la divergencia (conjunto de puntos periódicos) en la iteración según la mencionada categorización de Shell/Thron.

---

Acerca de $\theta_0$ tal que $|z|=1$ y $|u|=1$ (tercer caso de la lista anterior)

He encontrado la aproximación para $\theta_0$ utilizando el solucionador de Pari/GP
$\qquad \qquad $ th0 = solve(th=1.9,2.0, abs(-LambertW(-I*th))-1)
$$\theta_0 = 1.961308846... = 0.6243039957... \cdot \pi $$

Utilizando este $\theta_0$ Muestro el gráfico de dispersión de algunos primeros iterados de $z_0=1$ :

Los puntos azules son los primeros 1000 itera y por las líneas de conexión grises vemos un comportamiento muy caótico. Para tener un mejor control he marcado también los cuatro primeros iterados con color rojo.
Pero podemos hacerlo mejor; el "borde" de la figura parece (bien: parece ) para que sea interpolable. Y, de hecho, obtenemos trayectorias multiseccionales más suaves si documentamos sólo cada 3 u 11 puntos y añadimos una línea de interpolación. La siguiente imagen muestra los iterados en un 68 -trayectoria múltiple.

En la imagen he coloreado el primer 5 tramos de la trayectoria completa hasta unos 200 pasos para cada sección y con sus puntos conectados. Dan líneas más bonitas, aparentemente cerrando la figura, y están parcialmente (casi) superpuestas.
Esto puede hacerse aún más denso - ¡de hecho, incluso arbitrariamente denso!

Esto puede hacerse si utilizamos los valores del convergentes de la fracción continua de $\arg(u)/\pi$ . A continuación, en las multisecciones correspondientes con $s=68$ , $s=797$ , $s=5715$ , $s=2 \cdot 15517$ , $s=...$ de paso obtenemos trayectorias seccionales cada vez más densas (aunque por supuesto siempre son conjuntos de puntos complejos discretos/desconectados) .

Que las trayectorias parecen no contraerse, por lo que no obtenemos la convergencia.
Esto es, por supuesto, conjeturado por la inspección visual, pero puede ser respaldado por la heurística, que los valores crecientes de los convergentes de la fracción continua proporciona más pequeño distancias entre los pasos de una trayectoria seccionada. Y esto debe significar entonces que llegamos arbitrariamente cerca de en $z_{-1}=0$ y luego arbitrariamente "cerca" en $z_{-2} = \log_z(0)$ Así que siempre tendremos puntos muy lejanos en la imagen.

Esta última consideración sólo se basa en la observación y la conclusión - sería bueno si uno pudiera hacer una prueba para este....