¿Cómo usar el teorema de Stokes?

Question

Utilice el teorema de Stokes para evaluar $\int_{C} [ydx+y^{2}dy+(x+2z)dz]$ donde $C$ es la curva de intersección de la esfera con $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ y el avión $y+z=a$ orientado en sentido antihorario, visto desde arriba.
Me parece que no puede entender los ejemplos en el libro. Puede que alguien me explique qué significa esto y cómo aplicar la fórmula de Stokes?

EDITAR: Yo todavía no entiendo qué es exactamente lo hes hablando de que he descubierto wha ti debo tomar el curl de al menos (ahora que sé qué cosa de la curvatura es suppsoed para ser tomado en).

Curl F = (0)dydz-(-1)dxdz+(-1)dxdy

desde wha ti han sido capaces de decifer creo que n debe ser el vertor normal a los 2 sufaces $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$$y+z=a$, en cuyo caso

$n=\begin{bmatrix} e_{1}&e_{2}&e_{3} \\ 0&1&1 \\ 2x&2y&2z\\ \end{bmatrix}$

$n=(2z-2y)i+(2x)j-(2z)k$

por lo tanto $\int\int_{S}2xdxdz+2xdxdy$

$=(x^{2}z+x^{2}y)||_{S}$ , lo que de nuevo no tiene sentido

cuando me calcular K a i get 1-1=0, lo que también no tiene ningún sentido

Answer 1

EDIT: Alguien golpeado esta respuesta así que pensé que debería corregirlo...

Im dejando la imagen hasta aquí mi intento de hacer la pregunta en ambos sentidos.

$\int_{C}[ydx+y^{2}dy+(x+2z)dz]$ donde C es la curva de intersección de la esfera con $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ y el avión $y+z=a$

El teorema de Stokes hace muy poco sentido para mí, pero voy a dar mi mejor tiro en una respuesta en ambos sentidos.

Por una evaluación normal. $z=2*[a^{2}-(x^{2}+y^{2})]^{\frac {1}{2}}$

tenemos $z=a-y$ Subbing $\to x^{2}+y^{2}+(a-y)^{2}=a^{2}$

$x^{2}+y^{2}+a^{2} +y^{2}-2ay =a^{2}$

$x^{2} +2(y-\frac {a}{2})^2 -\frac {a^{2}}{2} =0$

$(\frac{2^{1/2}x}{a})^{2} + (\frac{2y}{a}-1)^2 =1$ $u=\frac{2^{1/2}x}{a}$ $v=(\frac{2y}{a}-1)$ $u^{2}+v^{2}=1$ = $\pi*1^{2} *2$ * $Det|u,v|$

$Det|u,v|= \begin{bmatrix} \frac {a}{2^{1/2}} & 0 \\ 0 & \frac {a}{2} \\ \end{bmatrix}$

Por lo tanto, la respuesta debe ser $\frac{a^{2}\pi}{2^{1/2}}$

Por Stokes.

Primero vamos a empezar con el teorema de, $\int_{\partial S} F \cdot dx= \int \int_{S} (curl F) \cdot n dA$

$curl F = \begin{bmatrix} i & j& k \\ d1 & d2 & d3 \\ F1 & F2 & F3 \\ \end{bmatrix}$

$curl F =Det| \begin{bmatrix} i & j& k \\ d1 & d2 & d3 \\ y & y^{2} & (x+2z) \\ \end{bmatrix}|$ = $(0-0)i -(1-0)j+(0-1)k$

Claramente la norma de la superficie apuntando hacia arriba, como se ve desde arriba (n) es $Curl F = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} n = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

$Curl F \cdot n= -2$

Ahora tenemos $\int \int_{S} -2 dA$ usando anterior dA a través de S = $\frac{a^{2}\pi}{2^{3/2}}$ así que tenemos la $\frac{a^{2}\pi}{2^{3/2}} * -2 = -\frac{a^{2}\pi}{2^{1/2}}$ no muy segura de por qué esta es negativa, probablemente debido a la orientación, pero no estoy seguro de qué camino es el correcto o incluso si cualquiera de las dos es correcta.

Answer 2

Podemos reescribir a cabo integral como

$$\oint_{C} P dx + Q dy + R dz$$

Donde $P = y, Q = y^2, R = x + 2z$. Podemos ahora calcular

$$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0 - 0 = 0$$ $$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0 - 1 = -1$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - 1 = -1$$

El teorema de Stokes nos dice que

$$\oint_{C} P dx + Q dy + R dz = \\\int\int_{\mbox{interior of $C$}} \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) dydz - \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) dxdz+ \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy \\ = \int\int_{\mbox{interior of $C$}} dxdz - dxdy \\ = \int\int_{\mbox{interior of $C$}}(0,1,-1) \cdot d\vec{A}$$

Lo que queda ahora es calcular los $d\vec{A} = \vec{n}dA$ donde $\vec{n}$ es el vector normal al interior de $C$, elegido con la orientación correcta (regla de la mano derecha). Usted puede encontrar esto mediante el cálculo de la normal del plano de $y+z = a$. A continuación, tomar el producto escalar con $(0,1,-1)$ para obtener algunas constantes $K$, y usted tendrá

$$ K\int\int_{\mbox{interior of $C$}} dA = K \times \mbox{Area of the interior of $C$, which is a disc}$$

¿Sabes cómo continuar a partir de aquí?