Ley de los cosenos con triángulos imposibles

Question

Hay ningún significado matemático al hecho de que la ley de los cosenos...

$$ \cos (\textrm {ángulo entre} a\textrm {y} b) = \frac{a^2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab} $$

... de un triángulo imposible rinde un coseno de $< -1$ (cuando $c > a+b$), o $> 1$ (cuando $c < \left|a-b\right|$)

Por ejemplo, los rendimientos $a = 3$, $b = 4$, $c = 8$ $\cos(\textrm{angle }ab) = -39/24$.

O $a = 3$, $b = 5$, $c = 1$ $\cos(\textrm{angle }ab) = 33/30$ los rendimientos.

¿Algo que ver con geometría hiperbólicos/cosenos?

Answer 1

Para algunos un, b, y c que forman un triángulo: el aumento de la longitud de c aumenta la medida del ángulo C y m∠C enfoques de 180°, cos C enfoques -1; la disminución de la longitud de c aumenta la medida del ángulo C y m∠C se aproxima a 0°, cos C enfoques 1. La ampliación de este patrón, es lógico que si c > a + b, c ha hecho más grande pasado haciendo un triángulo con a y b, por lo que cos C < -1, y si c < |a-b|, c se ha achicado pasado haciendo un triángulo con a y b, por lo que cos C > 1.

En geometría hiperbólica, la definición de líneas (y por lo tanto los triángulos) es diferente y la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es menor que 180°. Hay una Hiperbólica de la Ley de los Cosenos, pero no es el mismo.

Yo no creo que haya una forma sensata de relacionar coseno hiperbólico a la Ley de los Cosenos en la geometría Euclidiana.

Answer 2

Uno puede demostrar que el triángulo de la desigualdad en cualquier abstracto producto interior el espacio, como un espacio de Hilbert; es una consecuencia de la de Cauchy-Schwarz desigualdad $\langle a, b \rangle^2 \le ||a||^2 ||b||^2$. Para que el triángulo de la desigualdad a fallar, la de Cauchy-Schwarz desigualdad tiene un error, y con el fin de Cauchy-Schwarz para fallar (que corresponde a la "coseno" ya no se entre $1$$-1$), el axioma de un resumen interior del espacio del producto tiene que ser dado. Una opción es dar positivo-la certeza; en otras palabras, las longitudes de los vectores no son siempre no negativo. Esto conduce a las geometrías como el espacio-tiempo de Minkowski , que son relevantes a la relatividad. En el espacio-tiempo de Minkowski, hay una revertir la desigualdad de triángulo en su lugar.

Edit: también debo mencionar que la unidad de "esfera" en el espacio-tiempo de Minkowski es un modelo de geometría hiperbólica se llama la hyperboloid modelo.

Answer 3

Esta no es directamente una cuestión de geometría hiperbólica pero de compleja geometría Euclidiana. La construcción de "imposible" triángulos es la misma que la construcción de las raíces cuadradas de los números negativos, al considerar las coordenadas de los vértices de los triángulos que debe tener. Si se calculan las coordenadas de un triángulo con lados de 1,3,5 o 3,4,8 obtener los números complejos. Ordinario real de coordenadas de la geometría Euclidiana esto significa que no hay tal triángulo. Si el complejo de coordenadas está permitido, el triángulo existe, pero no todos sus puntos son visibles en los dibujos que representan solamente los puntos reales.

En el plano de la geometría analítica, donde las coordenadas Cartesianas se les permite ser complejo, los conceptos de punto,línea, círculo, el cuadrado de la distancia, de punto-producto, y (con la adecuada definiciones) ángulo y coseno se pueden interpretar utilizando las mismas fórmulas. Esta semántica se extiende el visible (real-coordinar) la geometría Euclidiana a uno en el que cualquiera de los dos círculos se intersectan, pero posiblemente en puntos con complejo de coordenadas. Podemos "ver" sólo el subconjunto de puntos con coordenadas reales, pero la construcción que construye un triángulo con las distancias entre los lados sigue funcionando sin problemas, y algunas formulaciones de la ley de los Cosenos se mantendrá.

Sin duda hay relaciones de esta imagen de geometría hiperbólica. Una es $cos(z)=cosh(iz)$, de modo que usted puede ver el coseno hiperbólico y coseno como la misma una vez que el complejo de coordenadas están permitidos. La otra es que el de Pitágoras métrica en el plano complejo, considerado como una de las 4 dimensiones del espacio real, es de la forma $x^2 + y^2 - w^2 - u^2$, por lo que el lugar geométrico de los puntos complejos a distancia $0$ desde el origen contiene copias de los hyperboloid modelo de la geometría hiperbólica. Pero no hay ninguna incrustación del plano hiperbólico como un subespacio lineal de la compleja plano Euclidiano, con lo que no podemos obtener de este una forma más fácil de pensar acerca de la geometría hiperbólica.

Para ayudar a visualizar lo que está pasando está iluminando para calcular las coordenadas de un triángulo con lados 3,4,8 u otro caso imposible, y el punto de los vectores involucrados.