Limitaciones matemáticas de experimentos de la computadora

Question

Un problema que siempre me molestó es que las limitaciones de los equipos en el estudio de las matemáticas. Con un sistema dinámico caótico, por ejemplo, sabemos que, matemáticamente, que poseen trayectorias que nunca se repiten a sí mismos. Pero computacionalmente, parece que tal órbita nunca puede ser realizada (ya que dado el número finito de valores que un ordenador puede trabajar con la periodicidad que parece inevitable). Sin embargo, las personas de estudio de caos con los ordenadores. Usan la matemática, por supuesto, pero teniendo en cuenta el papel que los equipos que juegan en nos ayuda a obtener la intuición de los sistemas complejos, me pregunto si hay aspectos de un sistema que podría pierde por el uso de las computadoras en una moda.

Gracias, Jack

Answer 1

Simulación numérica de la dinámica de sistemas es realmente difícil.

Una de las dificultades es que se implementa el uso de la aritmética de punto flotante, que está sujeto a errores de redondeo. Para sistemas dinámicos caóticos, los que tienen extraños atractores, los errores de redondeo son potencialmente graves, porque las órbitas de partida en el cercano puntos puede difieren de uno a otro de manera exponencial. A veces, este fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales no afecta a la imagen general, porque numéricamente calcula las órbitas son ensombrecidas por exacta de las órbitas que captura el comportamiento típico del sistema. Sin embargo, la verdad es que errores de redondeo afectar simulaciones numéricas de sistemas dinámicos en formas muy complejas [1]. Bien acondicionado y sistemas dinámicos se pueden mostrar caótico numérico comportamiento [2,3]. Por el contrario, los métodos numéricos se puede suprimir el caos en algunos sistemas dinámicos caóticos [3]. (Texto extraído de [4].)

No obstante, existen métodos computacionales para el estudio de la dinámica de los sistemas que funcionan de forma fiable, incluso en presencia de errores de redondeo. Ver el trabajo de Warwick Tucker, Zbigniew Galias, Pawel Pilarczyk, y otros.

[1] Corless, ¿para Qué sirven las simulaciones numéricas de sistemas dinámicos caóticos? Comput. De matemáticas. Appl. 28 (1994) 107-121. MR1300684

[2] Adams et al., Computacional caos puede ser debido a un solo local de error. J. Comput. Phys. 104 (1993) 241-250. MR1198231

[3] Corless et al., Los métodos numéricos se puede suprimir el caos, la Física Letras de la a a 157 (1991) 127-36. DOI 10.1016/0375-9601(91)90404-V

[4] Paiva et al., Robusto visualización de extraños atractores utilizando afín a la aritmética, de los Equipos Y de los Gráficos. 30 (2006), no. 6, 1020-1026. DOI 10.1016/j.cag.2006.08.016

Answer 2

Es una preocupación válida, y tengo una anécdota histórica para que coincidan. Cuando Mandelbrot publicó la primera imagen del conjunto de Mandelbrot, la imagen era de mala calidad, debido a la situación de la informática en aquel entonces. Viendo lo que él pensaba que donde "mota de polvo" en la imagen, su editor de borrado. Desde entonces hemos obtenido mucho mejores fotos de curso, y sabemos que estas partículas de polvo son "islas" que están vinculados a el cuerpo principal del conjunto de Mandelbrot por "los pelos" de vacío interior (que no eran muy visibles en la Mandelbrot de la imagen).

El punto es, los ordenadores son una herramienta para guiar a su intuición, pero usted no debe confiar únicamente en ellos. Pensar en imperfecto equipo de imágenes/simulación como el dibujo de una superficie en lugar de un n-manifold : ayuda a la comprensión de lo que está pasando, pero funciona junto con un mayor conocimiento riguroso de los objetos que están manipulando. De lo contrario, usted está, de hecho, destinado a cometer errores.

Answer 3

El conjunto de los sistemas no lineales que pueden ser entendidos de manera analítica es un conjunto de medida cero. Experimentos numéricos y algoritmos numéricos son una herramienta necesaria en el estudio de estos sistemas. Pero estoy de acuerdo en que hay una necesidad de más robusta de herramientas numéricas para el estudio de los sistemas complejos.

De todos modos, respecto a la caótica conjuntos, el "juego" orientadas a la Perron-Frobenius operador-enfoque teórico numéricamente el estudio de las densidades y distribuciones de probabilidad sobre estos sistemas en lugar de trayectorias individuales ha sido bastante exitosa. Ver el trabajo de G. Froyland, M. Dellnitz, I. Mezic etc. Por otro lado, topológico cantidades tales como la entropía topológica son robustos a errores numéricos y no se basan en el cálculo exacto de las trayectorias, por ejemplo, ver el trabajo de P. Boyland etc. Por lo que existen otras formas de entender estos sistemas que sólo numéricamente el seguimiento de las trayectorias individuales.