Demostrar que una positiva función polinomial puede ser escrito como los cuadrados de dos funciones polinómicas

Question

Deje $f(x)$ ser una función polinómica con coeficientes reales tales que a $f(x)\geq 0 \;\forall x\in\Bbb R$. Demostrar que existen polinomios $A(x),B(x)$ real coeficients tal que $f(x)=A^2(x)+B^2(x)\;\forall x\in\Bbb R$

No sé cómo este enfoque, aparte de algunos casos específicos de polinomios que resultó muy feo. Todas las sugerencias que me apunte a la dirección correcta?

Answer 1

Considere la posibilidad de raíces de $f(x)$$f(x)\geq0,\forall x\in\mathbb{R}$, lo $f(x)$ puede ser reescrito de la siguiente manera: $$f(x)=a^2(x-a_1)^2\cdots(x-a_k)^2[(x-\alpha_1)(x-\bar{\alpha_1})]\cdots[(x-\alpha_l)(x-\bar{\alpha_l})]$$ Donde $a,a_1,\cdots,a_k\in\mathbb{R},\alpha_1,\cdots,\alpha_l\in\mathbb{C}$.

Denotar $g(x)=a(x-a_1)\cdots(x-a_k),h(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_l)=h_1(x)+ih_2(x)$, luego \begin{align*} f(x)&=g^2(x) \, h(x) \, \bar{h}(x)\\ &=g^2(x) \, [h_1(x)+ih_2(x)] \, [h_1(x)-ih_2(x)]\\ &=(g(x)h_1(x))^2+(g(x)h_2(x))^2 \end{align*}

Answer 2

Encuesta de artículo de Bruce Reznick llamado Algunos Aspectos Concretos de Hilbert 17 de Problema, incluye su caso, en el párrafo de Antes de 1900:

Answer 3

Suponga que el coeficiente de $f$$1$. Si $f(x)=x^k$ algunos $k$, $k$ es regular y el resultado de la siguiente manera. Al completar el cuadrado vemos que el resultado se mantiene si el grado de $f$ es menor o igual a $2$. Si $f$ tiene una raíz real, podemos asumir esta raíz está en 0 reemplazando $x$$x-a$. Podemos ver que este debe ser un múltiplo de la raíz por el hecho de que $f(x)\geq 0$ todos los $x$, por lo que al excluir $x^2$ podemos reducir el problema a un polinomio de grado inferior. Así se puede asumir que el $\deg(f)>2$, el resultado se mantiene para los polinomios de grado menor, y que $f$ tiene un valor distinto de cero complejo de raíz. El distinto de cero raíces de $f$ $z_1,z_1',z_2,z_2',\ldots,z_n,z_n'$ donde $z_i$ es el conjugado complejo de $z_i'$ todos los $i$. Así pues, existe un polinomio cuadrático $x^2+bx+c=(x-z_1)(x-z_1')$ y un polinomio $p(x)$ de grado dos menos que el grado de $f$ tal que $$f(x)=(x^2+bx+c)p(x)$$

Por inducción, $p(x)=A(x)^2+B(x)^2$ para algunos polinomios $A(x)$$B(x)$. Así $$f(x)=(x^2+bx+c)(A(x)^2+B(x)^2)$$ También tenemos que $$f(x)=((x+\frac{b}{2})^2+c-\frac{b^2}{4})(A(x)^2+B(x)^2)$$ así $$f(x)=\left((x+\frac{b}{2})A(x)+\sqrt{c-\frac{b^2}{4}}B(x)\right)^2+\left((x+\frac{b}{2})B(x)-\sqrt{c-\frac{b^2}{4}}A(x)\right)^2$$ por el Brahmagupta–Fibonacci de identidad, por lo que el resultado de la siguiente manera por inducción proporcionado $c\geq b^2/4$. Sin embargo, si este no fuera el caso, a continuación, $x^2+bx+c$ tendría una raíz real, por lo que estamos por hacer.