¿Es una prueba diferente de que el grupo fundamental es abeliano?

Question

He demostrado que el grupo fundamental de un grupo topológico es abeliano. Pero no he encontrado en ningún sitio una prueba similar a la mía. En todos los sitios que he buscado, se ha hecho o bien explotando propiedades categóricas o algo así como tomar el producto de dos caminos.

Mi prueba es la siguiente:

Dejemos que $a$ y $b$ sean dos bucles en un grupo topológico $(G,\bullet )$ a partir del elemento de identidad $e$ . Tenemos que mostrar $ a\ast b \simeq b\ast a$ , donde " $\ast$ " es la operación fundamental del grupo.

Ahora, para cada $t,s\in [0,1]$ , defina

$F_t(s)=a(st)\ast(a(t)\bullet b(s))\ast \bar a(st)$

Ahora $F_t$ } da la homotopía entre $b$ y $a\ast b \ast \bar a$ .

La idea principal es que en cada momento $t$ Primero vamos a $a(t)$ a lo largo de $a$ y luego atravesar la ruta traducida $a(t)\bullet b$ y luego volver por el camino inverso al primero. La continuidad de $F$ se deduce del lema de pegado.

Esta prueba parece correcta, pero ¿por qué otras pruebas evitan este argumento directo?

Answer 1

Su idea es muy bonita, pero la definición $$F_t(s)=a(st)\ast(a(t)\bullet b(s))\ast \bar a(st)$$ es inadecuado porque $a(st)$ , $a(t)\bullet b(s))$ , $\bar a(st)$ son puntos únicos de $G$ que no puede ser compuesto por $*$ que es el sucesión de caminos . Lo que quiere decir es $$F_t = a_t * (a(t) \bullet b) * \overline{a_t}$$ donde $a_t(s) = a(st), \overline{a_t}(s) = a_t(1-s) = a((1-s)t)$ . Tenga en cuenta que $\overline{a_t}$ es la inversa de $a_t$ , no forma parte de la inversa $\bar a$ de $a$ . De hecho, $a((1-s)t) \ne a(1-st) = \overline{a}(st)$ . También se puede escribir explícitamente $$F_t(s) = \begin{cases} a(3st) & 0 \le s \le 1/3 \\ a(t) \bullet b(3s - 1) & 1/3 \le s \le 2/3 \\ a((3(1-s)t) & 2/3 \le s \le 1 \end{cases}$$

Answer 2

Me gusta mucho tu argumento. Este Encontré utiliza la misma idea, pero no es tan concisa, ni tan clara como la tuya. Esta prueba también es bastante corto, pero el argumento es mucho más sutil, y me costó un poco ver lo que está pasando. Por último, estas notas describir las ideas de su prueba sin una prueba formal. Después de leerlos, creo que la mayoría de los autores escriben para un público lo suficientemente experimentado como para que, o bien (a) se espere que los lectores completen por sí mismos los detalles equivalentes a su prueba, o bien (b) consideren igual de fáciles los argumentos más sutiles.