¿Qué es $ \gcd (n-1,n+10)$ para $n$ un número natural?

Question

Actualmente lo he hecho,

deja $d= \gcd (n-1,n+10)$

entonces, $d \mid n-1$ y $d \mid n+10$

y por lo tanto $d$ también debe dividir $11$

no estoy seguro de qué hacer ahora, cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Como ya ha observado, $d$ debe dividir $11$ Así que $d$ es o bien $1$ o $11$ .

Sin embargo, una cosa a tener en cuenta es que ambas son posibles, por ejemplo, para $n=2$ , $d=1$ y para $n=12$ , $d=11$ .

Una idea similar sería usar el Algoritmo Euclidiano, que da como resultado que $$ \gcd (n-1,n+10)= \gcd (n-1,n+10-n+1)= \gcd (n-1,11)$$ que es $1$ o $11$ .

EDITAR

Una observación importante sería señalar cuando es $1$ y cuando lo sea $11$ .

Este asunto puede ser resuelto usando nuestra ecuación superior, que dice que $ \gcd (n-1,n+10)= \gcd (n-1,11)=11$ . Esto implica que $11|n-1$ mostrando además que $ \gcd (n-1,11)=11 \Rightarrow 11|n-1 \Rightarrow n \equiv 1 \pmod {11}$ .

Así, $ \gcd (n-1,11)=11$ implica que $n \equiv 1 \pmod {11}$ . Además, note que lo contrario es cierto, si $n \equiv 1 \pmod {11}$ Entonces $n=11k+1$ .

Esto nos da $$ \gcd (n-1,11)= \gcd (11k,11)=11$$ Así que tenemos $$ \gcd (n-1,n+10)=11 \Leftrightarrow n \equiv 1 \pmod {11}$$

Desde $ \gcd (n-1,n+10)$ es o bien $1$ o $11$ esto nos da que $$ \gcd (n-1,n+10)=1 \Leftrightarrow n \not \equiv 1 \pmod {11}$$

Esto puede demostrarse en mi ejemplo superior, si $n=2$ Entonces $n \not \equiv 1 \pmod {11}$ lo que implica que $ \gcd (n-1,n+10)=1$ .

Si $n=12$ Entonces $n \equiv 1 \pmod {11}$ lo que implica $ \gcd (n-1,n+10)=11$ .

Answer 2

Deje que $d=gcd(n-1,n+10)$ . Luego $$d=gcd(n-1,n+10)=gcd(n-1;n+10-(n-1))=gcd(n-1;11)$$ $d=1$ o $d=11$

Answer 3

Su argumento es correcto. Finalizémoslo investigando cuáles son los números $n$ para el cual $d=1$ y cuáles son aquellos para los que $d=11$ .

Si $n = 11k + 1$ Entonces $ \gcd (n-1, n+10) = \gcd (11k, 11k + 11) = 11 \gcd (k, k+1) = 11$ (compruebe usted mismo que el $ \gcd $ de dos números consecutivos es $1$ ), así que en este caso $d=11$ .

Supongamos, ahora, que $n = 11k + l$ con $l \in \{0, 2, 3, 4, \dots , 10\}$ (ya hemos estudiado el caso $l=1$ ). Si $d=11$ Entonces $d \mid n-1$ significa $11 \mid 11k + l -1$ y desde que $11 \mid 11k$ esto implica que $11 \mid l-1$ - que no es posible para ninguno de los $l$ del conjunto de arriba. Esto significa que para $n$ de la forma anterior, $d=1$ .