La no existencia de ultrafilters no principales en ZF

Question

En Hrbacek y Jech (1999, pág.205), señalan que "es conocido que el teorema de [la extensión de un filtro a un ultrafilter] no puede ser probado de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos solos". Y en Jech (2000, pág.81), mencionó que "[yo]t es conocido que el teorema [el Primer Ideal Teorema] no puede ser probado sin usar el Axioma de Elección. Sin embargo, también se sabe que el Primer Ideal Teorema es más débil que el Axioma de Elección."

Estoy teniendo un tiempo difícil encontrar una referencia para los reclamos. Por favor alguien puede darme algunos consejos (referencias) para que, por ejemplo, $\mathbf{ZF}\not\vdash \{\text{existence of non-principal ultrafilters}\}$? Gracias!

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• Hrbacek, K. y Jech, T. J. (1999). Introducción a la Teoría de conjuntos. Marcel Dekker, Nueva York, tercera edición.
• Jech, T. J. (2003). La Teoría De Conjuntos. Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York, 3 de milenio, ed. edición ampliada.

Answer 1

Además de lo que Noah escribió, Jech "El Axioma de Elección" tiene una de las pruebas parciales pruebas, o problemas con sugerencias para los siguientes:

1. En el primer modelo de Cohen, el axioma de [contable] elección deja de ser; pero el Booleano Primer Ideal teorema sostiene. Por lo tanto, cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter allí.

2. Hay un modelo de $\sf ZF$ en el que no hay libre ultrafilters en $\omega$. En el mismo modelo que el de Hahn-Banach teorema también se produce un error (aunque de Hahn-Banach es estrictamente más débil que el de ultrafilter lema).

   Usted puede encontrar la prueba plena en Halbeisen "Combinatoria, Teoría de conjuntos" (considerando Jech le da a este como un ejercicio con un toque).

Estos contienen una mejor exposición de un moderno punto de vista, en comparación con los papeles de la década de 1960.

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Blass demostrado, como Noé señaló, que es coherente que cada ultrafilter que es lo principal. La prueba está construida a partir de dos partes:

1. La construcción de un forzando la extensión donde cada filtro en $\omega$ que es lo principal, inicio de $L$.

   Demostrar que si no hay interior modelo con un cardinal medible (por ejemplo, si usted comienza a partir de $L$), luego si no hay libre ultrafilter en $\omega$, entonces no hay ningún libre ultrafilters en cualquier paquete conjunto.

2. Probar que si $W$ es el más pequeño de la clase que contiene todos los embarazos únicos y cerrados bajo ordenados, los sindicatos, y todos los ultrafilters en los ordinales son los principales, a continuación, todos los ultrafilters en conjuntos en $W$ son principales.

   Y que el modelo construido en el primer paso, su interior es igual a $W$.

El documento en sí es sorprendentemente corto, demasiado.

Answer 2

Ver este mathoverflow pregunta http://mathoverflow.net/questions/59157/reference-request-independence-of-the-ultrafilter-lemma-from-zf, especialmente la respuesta por Andreas Blass.

Sol Feferman demostrado que $ZF$ no prueba que no es un nonprincipal ultrafilter en $\omega$, en "Algunas aplicaciones de las nociones de forzar y genérico conjuntos" http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm56/fm56129.pdf.

La declaración más fuerte "$ZF$ no prueba que cualquier conjunto infinito lleva un nonprincipal ultrafilter" fue demostrado por Andreas Blass en "Un modelo sin ultrafilters."

El ultrafilter lema fue demostrado estrictamente más débil que el total $AC$ por Halpern y Levy, en ""El Booleano primer ideal teorema no implica el axioma de elección."

(Por desgracia, no puedo encontrar Blass o Halpern-Levy en línea).

En general, el libro "las Consecuencias del axioma de elección" por Rubin y Rubin y el acompañamiento de la página web http://consequences.emich.edu/conseq.htm son muy valiosos para este tipo de preguntas.