Diferencia entre $\epsilon-n_0$ y $\epsilon-\delta$ definición de límite.

Question

Mi curso de Análisis Real utiliza el $\epsilon - n_0$ definición del límite, pero he observado que el $\epsilon - \delta$ parece ser más común. ¿Podría alguien explicar, tanto formal como informalmente, la diferencia entre las definiciones? ¿Hay alguna ventaja en usar una sobre la otra? Un ejemplo de una prueba sencilla que utilice ambas definiciones sería estupendo.

(Perdone si es una pregunta tonta. Mirando las definiciones, no piense en que $n_0 = \delta$ . pero podría estar equivocado. Si $n_0 = \delta$ entonces al menos hay una respuesta sencilla, aunque me sentiré bastante avergonzado).

Answer 1

A secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ de los números reales tiene límite $x$ si para cada $\epsilon>0$ existe $n_0\in\mathbb N$ tal que $n>n_0$ implica $|x_n-x|<\epsilon$ .

A función $f\colon I\to \mathbb R$ es continua en $x_0\in I$ si para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que para todo $x\in I$ con $|x-x_0|<\delta$ tenemos $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ .

Son conceptos diferentes. Pero también son lo mismo: Tenga en cuenta que $|x-x_0|$ mide la distancia entre $x$ y $x_0$ ; podemos definir una métrica $d$ en $\mathbb N\cup\{\infty\}$ tal que una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ converge a $x$ si y sólo si la función dada por $$f(n)=\begin{cases}x_n&n\in\mathbb N\\x&x=\infty\end{cases}$$ es continua en $\infty$ . La métrica que he mencionado puede definirse como $d(n,m)=\left|\frac 1n-\frac 1m\right|$ para $n,m\in\mathbb N$ y $d(n,\infty)=d(\infty,n)=\frac 1n$ y $d(\infty,\infty)=0$ .

Answer 2

Hay una diferencia $\epsilon-n_0$ es para la convergencia de las secuencias, mientras que $\epsilon-\delta$ es de continuidad de funciones.

A continuación utilizaré la definición con la métrica inducida por el valor absoluto.

El $\epsilon - n_0$ se supone que la definición es: Sea $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia, llamamos $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ convergente si hay un $a$ para que $$\forall \epsilon >0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N}:\ n>n_0\implies \ |a_n-a|< \epsilon $$

El $\epsilon-\delta$ definición se supone que es. Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función, llamamos $f$ continua en $x_0$ si $$\forall \epsilon >0 \ \exists \delta>0 \ : | x-x_0|<\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$

Answer 3

El $n_0$ es (como se ha señalado) para un límite de una secuencia, o a veces para un límite cuando la variable va al infinito, como en $$ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} = 0 $$ redactado como: para cada $\epsilon > 0$ hay $n_0 \in \mathbb R$ tal que para todo $x > n_0$ tenemos $$ \left|\frac{1}{x} - 0\right| < \epsilon . $$

Answer 4

Yo diría que $\epsilon-n_0$ se utiliza más comúnmente cuando se quiere el límite de una secuencia $\left \{a_n \right\}$ es decir $\forall n>n_0, |c-a_n|<\epsilon$ . Pero $\epsilon-\delta$ suena como $\forall \epsilon>0, \exists\delta>0$ tal que $\forall x, |f(x+\delta)-f(x)|<\epsilon$ cuando se trata de comprobar la continuidad de una función.