¿Cómo calcular la matriz cuadrada a la potencia n?

Question

Tengo una matriz de números no negativos, digamos $A$ .

(1) ¿Cómo calculamos $A^n$ ?

(2) ¿Cómo podemos calcular $A^n$ usando el truco habitual de la matriz exponencial para hacerlo rápido?

Edición 1 También hay otra propiedad de la matriz A que sus diagonales consisten siempre en 0 y otros elementos ya sea 0 o 1.

¿Podemos hacer esto sólo con la multiplicación de matrices?

Answer 1

Otro enfoque es el llamado exponenciación al cuadrado . Sigue siendo necesario multiplicar las matrices de forma normal, pero sólo se necesita $O(\log n)$ tales multiplicaciones.

Este enfoque es más útil si desea unos pocos valores para $A^k$ con $k$ grande. Pero si quieres los valores de $A^k$ para una secuencia de valores $k=0,1,\dots$ no es de mucha ayuda.

Answer 2

Un método es la inducción. Otra forma de calcular $A^{n}$ para un $2 \times2$ matriz en general es el Teorema de Hamilton-Cayley: $A^{2}-Tr(A)\cdot A +\det{A} \cdot I_{2}=0$ . Este es un teorema muy útil que se puede aplicar para cualquier $n \times n$ matriz.

por ejemplo, si tiene un $2 \times 2$ matriz con $\det{A}=0$ y $Tr(A)=\alpha$ el teorema de Hamilton-Cayley se convierte entonces en:

$$A^2=\alpha\cdot A.$$ $$A^3=\alpha\cdot A^{2}=\alpha^{2}\cdot A$$ $$\vdots$$ $$A^{n}=\alpha^{n-1}\cdot A$$

Esta es una respuesta particular, pero recomiendo el siguiente libro ( Análisis matricial - Roger Horn ). Si tienes algún problema para ver este libro, dímelo.

EDITAR:

Otra forma de calcular la potencia de la matriz es el teorema del binomio. se tratará de escribir la matriz inicial $A$ como $A_{1}+I$ y luego observar un número $p$ por eso $A_{1}^{p}=O. $

Answer 3

Uso de los valores propios $\lambda_\pm$ de un $2 \times 2$ matriz $\textbf{A}$ se puede encontrar la expresión

$$\textbf{A}^\zeta = \frac{\lambda_+^\zeta - \lambda_-^\zeta}{\lambda_+ - \lambda_-} \textbf{A} - \lambda_+ \lambda_- \frac{\lambda_+^{\zeta-1} - \lambda_-^{\zeta-1}}{\lambda_+ - \lambda_-} \textbf{I}$$

http://xphysics.wordpress.com/2011/12/03/raising-the-power-of-a-2%c3%972-matrix/

Answer 4

Puedes utilizar el Teorema de Cayley-Hamilton que afirma que toda matriz satisface su polinomio característico.

Suponga que tiene un $k\times k$ matriz $A$ .

Para encontrar $A^n$ para un n grande, se divide $x^n$ por $P(x)$ , el polinomio característico para obtener un resto $R(x)$ que tiene un grado menor que $k$ .

Tenga en cuenta que $ A^n = P(A)Q(A)+R(A) = R(A)$ donde R(A) es fácil de encontrar.

Por ejemplo, si $n=100$ y $k=3$ entonces $R(x)$ es un polinomio de segundo grado.