Dejemos que $G$ sea un grupo y $nil(G):=\{x\in G \mid \langle x,y \rangle \text{ is nilpotent for all } y \in G\}$ . Es $nil(G)$ siempre es un subgrupo de $G$ ?
Muchas gracias por cualquier ayuda.
Respuesta
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La conjetura más fuerte es que ${\rm nil}(G)$ es el hipercentro $Z^\infty(G)$ de $G$ . Creo que puedo demostrar que cuando $G$ es finito. No estoy seguro del caso general.
Supongamos que $G$ es finito. Es fácil ver que $Z^\infty(G) \le {\rm nil}(G)$ . Para demostrar la inclusión inversa podemos factorizar nuestro $Z^\infty(G)$ por lo que basta con demostrar que $Z(G)=1$ implica ${\rm nil}(G)=1$ .
Por lo tanto, asuma $G$ es finito con $Z(G)=1$ y existe $1 \ne x \in {\rm nil}(G)$ . Es evidente que cualquier poder de $x$ está en ${\rm nil}(G)$ por lo que podemos suponer que $x$ tiene un orden primo $p$ . Ahora $\langle x,y \rangle$ nilpotente para todo $y \in G$ implica que $x $ conmuta con todos los elementos de $p'$ -orden. Así que $x \in C_G(O^{p'}(G))$ , donde $O^{p'}(G)$ es el subgrupo generado por todos los elementos de $p'$ -orden. Por lo tanto, si $x \in P \in {\rm Syl}_p(G)$ entonces $P \cap C_G(O^{p'}(G))$ es un subgrupo normal no trivial de $P$ , por lo que se cruza con $Z(P)$ de forma no trivial. Pero $Z(P) \cap C_G(O^{p'}(G)) \le Z(G)$ , contradiciendo $Z(G)=1$ .
