Computación

Question

Problema

Calcular %#% $ #%

Solución

Hacer fracciones parciales %#% $ #%

Pero podemos simplificar al izquierda un $$\displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^3}.

Desde aquí, hago este Ver imágenes.

Pero encuentro las mal funciones primitivas. ¿Por qué estoy equivocado, y lo encuentro correcto?

Answer 1

Desde $\frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)},$$podemos encontrar algunos$a,b,c \in \mathbb{R}$tal que \frac{1}{x^3+1}=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1 $$}. Cálculo simple de$$A muestra que$ a =-b = \frac {c} {2} = \frac13, $$es decir\begin{eqnarray} \frac{1}{x^3+1}&=&\frac13\cdot\frac{1}{x+1}-\frac13\cdot\frac{x-2}{x^2-x+1}\\ &=&\frac13\cdot\frac{1}{x+1}-\frac16\cdot\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac12\cdot\frac{1}{x^2-x+1}\\ &=&\frac13\cdot\frac{1}{x+1}-\frac16\cdot\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac12\cdot\frac{1}{\left(x-\frac12\right)^2+\frac34}. \end{eqnarray} sigue eso\begin{eqnarray} F(r)&=&\int_0^r\frac{1}{x^3+1}\,dx=\frac13\ln(1+r)-\frac16\ln(r^2-r+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2r-1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}\\ &=&\frac16\ln\frac{(r+1)^2}{r^2-r+1}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2r-1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6\sqrt{3}}\\ &=&\frac16\ln\frac{r^2+2r+1}{r^2-r+1}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2r-1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6\sqrt{3}}. \end{eqnarray} así $ \int_0^\infty\frac{1}{x^3+1}\,dx=\lim_{r\to\infty}F(r) = \frac {\pi} {2\sqrt {3}} + \frac {\pi} {6\sqrt {3}} = \frac {2\pi} {3\sqrt {3}}.$$