A pesar de lo que la otra respuesta sugiere, la afirmación es falsa. Existen funciones de $f$ $C^2(\mathbb R^2)$ tal que
- $\Delta f(x,y)<0$ todos los $(x,y)\in\mathbb R^2$,
- $f(x,y) = 0$ si $x^2 + y^2 = 1$, y
- $\lim_{x\to\infty}f(x,0) = 1$.
Aquí es cómo hacer uno. Elija una función suave $\eta$ $\mathbb R$ tal que $\eta(x) = 1$$x\leq 2$$\eta(x) = 0$$x\geq 3$. Deje $\rho$ ser dos veces continuamente diferenciable de la función en $\mathbb R$ tal que $\rho(x)=1$$x\leq 1$. (La función de $\eta$ se mantendrá sin cambios, pero voy a determinar qué otra cosa tenemos que pedir de $\rho$ en un momento.) Definir
\begin{align*}
f(x,y) & =
1-\eta(x)x^2 - \rho(x)y^2
\end{align*}
En primer lugar, $f$ es dos veces continuamente diferenciable. Segundo, $f$ satisface (2) porque para$x\leq1$,$f(x,y) = 1-x^2 - y^2$. También, $f$ satisface (3) debido a que $\eta(x) = 0$ $x\geq 3$ y para los $x$ tenemos $f(x,0) = 1-\eta(x)x^2 = 1$. Finalmente, para $x\leq 1$, tenemos $$\Delta(f(x,y)) = \Delta(1-x^2-y^2) = -4 < 0.$$ The question is thus whether we can make $\Delta f<0$ when $x>1$.
Para $x>1$
\begin{align*}
\Delta(f(x,y)) & = \Delta(1-\eta(x)x^2 - \rho(x)y^2) \\
& = -\Delta(\eta(x)x^2) - {\partial^2\over \partial x^2}(\rho(x)y^2) - {\partial^2\over \partial y^2}(\rho(x)y^2) \\
& = -\Delta(\eta(x)x^2) - \rho''(x)y^2 - 2\rho(x). \tag{1}
\end{align*}
Ahora para$1<x\leq 2$,$\eta(x) = 1$, lo $-\Delta(\eta(x)x^2) = -\Delta(x^2) = -2$. Por lo tanto, si podemos asegurar que $\rho''$ $\rho$ son positivos, $(1)$ será negativo para $x\in(1,2]$. Por otro lado, $\eta$ tiene soporte compacto en $[2,\infty)$, lo $\Delta(\eta(x)x^2)$ lo hace así. Esto significa en particular que $\Delta(\eta(x)x^2)$ está delimitado en $[2,\infty)$, decir $|\Delta(\eta(x)x^2)|<M$. Por lo tanto, si podemos asegurar que
$$
M - \rho"(x)y^2 - 2\rho(x) <0, \etiqueta{2}
$$
a continuación, $(1)$ será negativo para todos los $x\in [2,\infty)$. En realidad, si nos aseguramos de que $\rho''(x)\geq 0$$x>1$, entonces sólo tenemos que tener $M-2\rho(x)<0$ $x\geq 2$ a satisfacer $(2)$.
En suma, vamos a hacer si nos encontramos con $\rho\in C^2(\mathbb R)$ tales que (i)$\rho(x)=1$$x\leq 1$, (ii) $\rho(x)>0$$\rho''(x)\geq 0$$x\geq 1$, y (iii) $M- 2\rho(x)<0$$x\geq 2$. Pero es fácil llegar con $\rho$ satisfactorio (i), (ii) y (iii). Por ejemplo, podríamos tomar
\begin{align*}
\rho(x) =
\left\{\begin{array}{ll}
1& x\leq 1, \\
1+M(x-1)^3 & x>1.
\end{array}\right.
\end{align*}
Con esto, hemos terminado.
