¿Por qué todos los números compuestos tienen esta propiedad?

Question

Defina $f(n)= \sum\limits_ {A \in S} f_{1}(n,A),\ n>2,\ n \in \mathbb {Z}$ donde $S$ es el conjunto de energía de $\{ \frac {1}{2}, \cdots , \frac {1}{n-1}\}$ .

Defina $\ f_1(n, \varnothing )=1,\ f_{1}(n,A)=(-1)^{\#A-2n \Sigma (A)}$ donde $\#A$ es el tamaño del conjunto $A$ y $ \Sigma (A)$ es la suma de los elementos de A.

Tomemos $n = 5$ por ejemplo: $$ \begin {align*} S = \{ \\ & \varnothing , \\ & \{ \frac {1}{2}\},\ \{ \frac {1}{3}\},\ \{ \frac {1}{4}\}, \\ & \{ \frac {1}{2}, \frac {1}{3}\},\ \{ \frac {1}{2}, \frac {1}{4}\},\ \{ \frac {1}{3}, \frac {1}{4}\}, \\ & \{ \frac {1}{2}, \frac {1}{3}, \frac {1}{4}\} \\ \} \end {align*} $$ $f(5)=1+(-1)^{1-2 \cdot 5 \cdot ( \frac {1}{2})}+ \cdots +(-1)^{2-2 \cdot 5 \cdot ( \frac {1}{2}+ \frac {1}{3})} + \cdots + (-1)^{3-2 \cdot 5 \cdot ( \frac {1}{2}+ \frac {1}{3}+ \frac {1}{4})}=4.7320508075688767+1.2679491924311326i$

Mi pregunta es: ¿Por qué por cada número compuesto $n$ es la parte real de $f(n)$ aproximadamente $0$ mientras que los números primos no tienen esta propiedad? Ejemplos: $$ \begin {align*} f(4) & = 1.887379141862766e-15-1.1102230246251565e-15i \\ f(22) & = -8.325340417059124e-12-7.568612403474617e-1i \end {align*} $$

Fuente: http://mymathforum.com/number-theory/43341-prime-prime.html

P.S. Código Python para $f(n),f_{1}(n,A)$ :

import itertools

def f_1(n,A):
    return (-1) ** (len(A) - 2 * n * (sum(A)))
def f(n):
    l = [itertools.combinations([1/x for x in range(2,n)], x) for x in range(1,n-1)]
    return round(sum([f_1(n,y) for x in l for y in x]).real) + 1

print(f(4))

# Output: 0

Answer 1

Porque $f_1(n,A) = (-1)^{\#A-2n \sum A} = \prod_ {x \in A} (-1)^{1-2nx}$ la suma sobre el conjunto de energía de cualquier conjunto $B$ factores: $$ \sum_ {A \subset B} f_1(n,A) = \prod_ {x \in B} \big ( 1 + (-1)^{1-2nx} \big ). $$ En particular, $$ f(n) = \prod_ {k=2}^{n-1} \big ( 1 + (-1)^{1-2n/k} \big ). $$ Si $n$ es compuesto, entonces existe un entero $2 \le k \le n-1$ de tal manera que $k$ divide $n$ para tal $k$ Tenemos $1 + (-1)^{1-2n/k} = 1+(-1)^{ \text {some odd integer}}=0$ . Por lo tanto $f(n)$ es exactamente igual a $0$ cuando $n$ es compuesto.