Así que, no sé de donde la definición de vino, o si es inspirado por el siguiente, pero me recuerda a la noción de dominio.
El concepto fue introducido por John Isbell en 1965 como una herramienta para el estudio de epimorphisms. (Epimorphisms y dominios, 1966 Proc. Conf. Categórica Álgebra (La Jolla, Calif., 1965). p 232-246, Springer-Verlag, nueva york; MR 0209202).
Definición. Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría de álgebras (en el sentido de álgebra universal), y deje $A\in\mathcal{C}$. Dado un subconjunto $S$$A$, podemos decir que el $S$ domina $a\in A$ si y sólo para cada objeto $B\in\mathcal{C}$ y cada par de $\mathcal{C}$-morfismos $f,g\colon A\to B$ si $f(s)=g(s)$ todos los $s\in S$,$f(a)=g(a)$. La colección de todas las $a\in A$ dominado por $S$ es llamado el dominio de la $S$ $A$ (en relación al $\mathcal{C}$). Se denota por a$\mathrm{dom}^{\mathcal{C}}_A(S)$, $\mathcal{C}$ omitirse si se entiende en el contexto.
En primer lugar, porque morfismos respecto a la estructura, se debe tener claro que el dominio de la $S$ siempre contiene el subalgebra generado por $S$. No es difícil mostrar que el dominio es una subalgebra, y en el hecho de que el dominio de la construcción es un cierre de operador en el entramado de subalgebras de $A$.
La conexión con epimorphisms es la siguiente: un epimorphism es un derecho-cancelables de morfismos. Es decir, $f\colon X\to Y$ es un epimorphism si para cada a $g,h\colon Y\to Z$ si $gf = hf$,$g=h$. En el contexto de las categorías de álgebras, $f$ es un epimorphism si y sólo si el dominio de $f(X)$ $Y$ es de $Y$.
Por otra parte, si la categoría de $\mathcal{C}$ es cerrado bajo subobjetos y cocientes, a continuación, todos los morfismos $f\colon X\to Y$ puede ser tenidos en cuenta en una proyección canónica $X\to X/\mathrm{Ker}(f)$ (donde $\mathrm{Ker}(f)$ es la congruencia de todos los $(a,b)\in X\times X$$f(a)=f(b)$), que es bien entendido, seguido por la inmersión $X/\mathrm{Ker}(f)\hookrightarrow f(X)\subseteq Y$, por lo que realmente sólo necesitamos "entender" dominios de subalgebras con el fin de entender epimorphisms.
El concepto también hace sentido en otros contextos, especialmente cuando los objetos de la categoría de "son enriquecidos conjuntos" y los morfismos se establecen en la teoría de los mapas.
Ejemplos.
En la categoría de abelian grupos, $\mathrm{dom}_A(B)=B$ para todos los grupos de $A$ y subgrupos $B$. Para ver esto, observe que la proyección canónica $A\to A/B$ y el cero mapa de $A\to A/B$ está de acuerdo en $B$ y en ningún otro lugar, así que no hay elemento de $A$ no $B$ puede estar en el dominio.
De manera más general, en la categoría de (izquierda) $R$-módulos, para todos (a la izquierda) módulos de $M$ y submódulos $N$, $\mathrm{dom}_M(N) = N$. Esto a su vez puede ser verificado mediante la comparación de la proyección canónica $M\to M/N$ y el cero mapa.
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En particular, en la categoría de $k$-espacios vectoriales, el dominio de un subespacio es el subespacio propio. Por lo tanto, el dominio de un subconjunto $S\subseteq V$ es precisamente el lapso de $V$.
Tenga en cuenta que esto le da una manera de interpretar la dependencia lineal e independencia lineal a lo largo de las líneas de su consulta, que es precisamente lo que ha hecho la conexión en mi cabeza: decir $S=\{s_1,\ldots,s_n\}$ es un subconjunto del espacio vectorial $V$. A continuación, $x$ está dominado por $S$ ("depende de $S$") si y sólo para cualquier par de transformaciones lineales $f,g$ dominio $V$ y el mismo codominio, si $f(s_i)=g(s_i)$ todos los $i$,$f(x)=g(x)$. Esto ocurre si y sólo si $x$ es una combinación lineal de las $s_i$, si y sólo si $x$ se encuentra en el intervalo de $S$. Podríamos decir que un conjunto $S$ es "redundante" de que existe $x\in S$ tal que $S\setminus\{x\}$ domina $x$, por lo que "no redundante" conjuntos corresponden a conjuntos linealmente independientes.
En la categoría de todos los grupos, también tenemos que $\mathrm{dom}_G(H) = H$ para todos los grupos de $G$ y subgrupos $H$. La forma más sencilla de ver esto es el uso de la amalgama de producto libre $G*_HG$ $G$ con la misma a lo largo de $H$, y los dos canónica incrustaciones de $G$ en este producto; que de acuerdo precisamente en $H$ y en ningún otro lugar.
Por otro lado, en la categoría de semigroups, podemos encontrar semigroups $S$ y subsemigroups $T$ tal que $\mathrm{dom}_S(T)\neq T$. Para un ejemplo trivial, tomar un grupo de $G$, y un subsemigroup $T$ que no es un grupo. Ya que la imagen de un grupo en un semigroup homomorphism debe ser un grupo, el dominio de $T$ $G$ en relación a la categoría de semigroups es, de hecho, el subgrupo generado por a $T$. Así, por ejemplo, el dominio de $\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$. Hay un montón de menos tonto ejemplos, y Isbell dio una intrínseca descripción de exactamente un elemento de $S$ está dominado por la subsemigroup $T$, en términos de ciertas conectado factorizations. Se llama el Zigzag Lema para Semigroups. Puede ser algo estrictamente entre el$T$$S$$S$, sólo $T$, etc.
Para monoids (semigroups con identidad), conmutativa semigroups, y conmutativa monoids, el dominio coincide con el dominio cuando consideramos los objetos como mentir en la categoría mayor de todos los semigroups. Esto no es obvio, ya que la ampliación de su categoría, en general, tienden a "reducir" el dominio (hay más pares de mapas a tener en cuenta). Este es un teorema de Isbell y Howie (Isbell, J. R. y Howie, J. M., Epimorphisms y dominios II, J. Álgebra 6 (1967) pp 7-21, MR0209203).
La categoría de los anillos también tiene ejemplos no triviales. Por ejemplo, cualquiera de los dos anillo homomorphism con el dominio $\mathbb{Q}$ que está de acuerdo en $\mathbb{Z}$ deben ponerse de acuerdo sobre todos los de $\mathbb{Q}$ (es decir, $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$ es un epimorphisms). La descripción precisa de que el dominio es complicado (Isbell, se equivocaron en su primer papel).
Para un no-algebraicas ejemplo, en la categoría de Hausdorff espacios topológicos, tenemos que $\mathrm{dom}_X(Y) = \overline{Y}$, el cierre de $Y$, desde cualquiera de los dos continua mapas en un espacio de Hausdorff que ponerse de acuerdo sobre un conjunto deben ponerse de acuerdo sobre su límite de puntos, por lo que el cierre de $Y$ es ciertamente contenida en el dominio. De lo contrario inclusión, considere la posibilidad de $X/\sim$ donde $\sim$ es la relación que identifica todos los puntos de $\overline{Y}$ a un único punto, y considerar la constante mapa de un solo punto y la proyección canónica $X\to X/\sim$.
Si tomamos la definición que da y permitir aditivo de los mapas en cualquier semigroup, a continuación, se describe con precisión al $x$ es en el dominio de la $\{x_1,\ldots,x_n\}$ en la categoría de (propiedad conmutativa) semigroups. No sé de mano si la restricción de la codominio a $\mathbb{R}$ será necesariamente "agrandar" el dominio si usted comienza con un semigroup sólo (creo que lo haría).
Pero si usted está comenzando con un espacio vectorial, entonces: si el campo de tierra es de característica positiva, a continuación, un aditivo de la función en $\mathbb{R}$ debe ser el cero de la función; por lo que cada vector está dominado/depende de cualquier conjunto, y el único conjunto independiente es el conjunto vacío. Si el campo de tierra es de característica cero, entonces aditivo funciones en $\mathbb{R}$ debe $\mathbb{Q}$-lineal, y el concepto que se está definiendo es sólo $\mathbb{Q}$-independencia lineal y $\mathbb{Q}$-dependencia lineal.
