Demostrar que $\forall a\in \mathbb{R\smallsetminus Q}$, existen infinitamente muchos $n\in \mathbb N$ tal que $\lfloor{an^2}\rfloor$ es.

Question

Pregunta: Demostrar que $\forall a\in \mathbb{R\smallsetminus Q}$, existen infinitamente muchos $n\in \mathbb N$ tal que $\lfloor{an^2}\rfloor$ es.

Si $a=\sqrt2$ y $x^2-2y^2=1(x,y\in\mathbb N)$ y $x-\sqrt2y=\dfrac{1}{x+\sqrt2y},$ % $ $$9xy-9\sqrt{2}y^2=\dfrac{9y}{x+\sqrt2y}\in(3,4)$$\lfloor{(3y)^2\sqrt2}\rfloor=9xy-4$es desde $y$ es.

Si $k\in\mathbb N,\sqrt k \notin \mathbb N$ entonces podemos probarlo para $a=u+v\sqrt k,u,v\in\mathbb Q$ que el anterior.

Sé que si $a$ es un contraejemplo y las representaciones de la fracción continua de $a=[a_0; a_1,a_2,....]$ entonces $a_{k},a_{k+2},a_{k+4},\cdots$ debe ser de todo incluso algunos $k\in \mathbb N$.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario:

Suponga que w.l.o.g. que $a<1$ y escribir $a=0.a_1 a_2a_3\ldots$. Si hay infinitamente muchos $i$ tal que $a_{2i}=0$, entonces hemos terminado, porque se puede tomar la correspondiente incluso potencias de 2 como las plazas. De lo contrario, no es un $k$ tal que $2^{2k}a$ ha únicos en su binario rep después de que el punto, lo que significa que la parte fraccionaria de $2^{2k}a$ al menos $1/3$.

Por lo tanto, es probablemente suficiente para demostrar que existen infinitos $n$ de manera tal que la parte fraccionaria de $n^2a$ es menos de 1/3.