¿Hyperreals - existe un "límite" entre series convergentes y divergentes?

Question

Hypearreals son clases de equivalencia de las secuencias de números reales. Hay un hypperreal número $ h $ tal que para cada convergente (real) de la serie de $ \sum a_n $ tenemos que la clase de equivalencia de la secuencia correspondiente a los términos de esta serie - $ (a_n) $ - ha $ \overline{ |a_n|} \le h $?

En otras palabras, podemos encontrar una especie de "frontera" en los hyperreals entre convergentes y divergentes de la serie - con secuencias de dar convergente la serie en un lado de la frontera y secuencias de dar divergentes de la serie en el otro?

Si no es posible, en general, se puede hacer absolutamente convergente la serie?

EDIT: Como se muestra por JHance, no podemos encontrar un enlace de secuencias de producción divergente de la serie, ya que algunos de ellos pueden pertenecer a las 0 clase de equivalencia. Así que la pregunta que queda es: ¿podemos encontrar un hyperreal obligado para las secuencias de dar convergente la serie?

Answer 1

Por desgracia, no creo que ninguna de tales límites es posible. En particular, en la construcción habitual, no se desvanece, positiva, convergente secuencia representa una clase de equivalencia estrictamente mayor que 0. Pero cualquier ultrafilter en $\mathbb{N}$ contiene un conjunto infinito $S$ con infinito complemento (en particular contiene el par o impar). Si dejamos que nuestra secuencia de desaparecer en $S$, podemos poner cualquier cosa en $\mathbb{N}\backslash S$ y aún así obtener una secuencia en la equivalencia de la clase 0. Obviamente podemos forzar la divergencia.

Edit: la hora de considerar si existe un límite superior en secuencias convergentes se obtiene el siguiente problema: sin duda podemos encontrar límites superiores en el conjunto de secuencias convergentes, pero no podemos aislar un mayor límite inferior. La primera es obvia. El último ejemplifica el fracaso de la menor cota superior de la propiedad para transferir a hyperreals:

Supongamos que tenemos un mínimo de límite superior $L$. Obviamente $L > 0$$L > L/2 > 0$. Por tanto, hay una serie convergente $\sum a_n$ (asumir positivo) tal que $L > \overline{\{a_n\}} > L/2$. Finalmente vemos que el $\overline{\{2a_n\}} > L $ pero $\sum 2a_n$ converge. Supongo que todavía podríamos preguntarnos si existe por lo menos un límite superior a la multiplicación por reales.