Demostrar que hay un vector $v\in \mathbb{R}^k$ tal que $u \cdot v =0$

Question

Que $u \in \mathbb{R}^k$ ser un vector con un componente positivo, un componente negativo y el % restante $k-2$pueden tener a más de un componente que es igual a cero. ¿Entonces hay un % de vector $v \in \mathbb{R}^k$tal que todos sus componentes son estrictamente positivas y $u \cdot v= 0$?

Intuitivamente esto parece ser cierto. Pero, ¿cómo puedo hacer para mostrarlo formalmente?

Answer 1

Que $P>0$ ser la suma de los componentes positivos en $u$ y $N<0$ ser la suma de los componentes negativos. Definir vector $v$ tener valor $1$ donde $u_i\ge0$y valor $b$ donde $u_i<0$, donde $b$ es tal que el $P-b|N|=0$. Claramente $b=P/|N|$ es positivo, por lo que el % de vector $v$tiene todos los componentes positivos. Desde $\sum u_iv_i=P-b|N|=0$, hemos terminado.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad suponga satisface a $u=(u_1,u_2,\cdots, u_k)$ $u_1>0$ y $u_2<0.$ ahora:

• Si $u_3+\cdots+u_k=0$ y $v=(-u_2,u_1,1,\cdots,1)$ obras;
• Si $u_3+\cdots+u_k>0$ y $(1,0,1,\cdots,1)\cdot u>0.$ desde $u_2<0$ tenemos que $\lim_{x\to \infty} (1,x,1,\cdots,1)\cdot u=-\infty.$ por lo tanto, debe existe $x_0\in \mathbb{R}_+$ tal que $(1,x_0,1,\cdots,1)\cdot u=0.$
• Si $u_3+\cdots+u_k<0$ y $(0,1,1,\cdots,1)\cdot u<0.$ desde $u_1>0$ tenemos que $\lim_{x\to \infty} (x,1,1,\cdots,1)\cdot u=+\infty.$ por lo tanto, debe existe $x_0\in \mathbb{R}_+$ tal que $(1,x_0,1,\cdots,1)\cdot u=0.$

Answer 3

Que $u_i$ sea el componente de th de #% de $i$% #%. Que $u$ ser el componente negativo especificado. Que $u_k$ y todos los otros $v_k= -(\sum_{i\neq k} u_i)/u_k$.